【三阶行列式公式】在线性代数中，三阶行列式是计算3×3矩阵行列值的一种方法，广泛应用于解线性方程组、求逆矩阵、判断矩阵是否可逆等问题。三阶行列式的计算公式较为固定，可以通过展开法或对角线法则进行计算。以下是对三阶行列式公式的总结与说明。

一、三阶行列式的定义

对于一个3×3的矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

$$

其行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，计算公式如下：

$$

\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

$$

该公式可以理解为以第一行元素为基准，分别乘以对应的余子式（即去掉该元素所在行和列后的2×2行列式），并按照正负交替的符号进行加减。

二、三阶行列式的展开方式

三阶行列式的计算也可以通过“对角线法则”进行，具体步骤如下：

1. 将原矩阵复制两列，形成一个5列的扩展矩阵；

2. 计算从左上到右下的主对角线元素之积；

3. 计算从右上到左下的副对角线元素之积；

4. 主对角线之积相加，副对角线之积相减，结果即为行列式的值。

例如，对于矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}

$$

其行列式为：

$$

\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

$$

三、三阶行列式公式总结表

四、实际应用举例

假设矩阵为：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

$$

按第一行展开计算：

$$

\det(A) = 1(5×9 - 6×8) - 2(4×9 - 6×7) + 3(4×8 - 5×7)

$$

$$

= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)

$$

$$

= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0

$$

因此，该矩阵的行列式为 0，说明该矩阵不可逆。

五、小结

三阶行列式的计算虽然形式复杂，但有固定的公式和方法。掌握其展开方式和对角线法则，有助于快速计算，并在后续的线性代数学习中打下基础。通过练习不同矩阵的行列式计算，可以进一步提高对这一概念的理解和应用能力。