【面面垂直的判定】在立体几何中，两个平面之间的位置关系有多种，其中“面面垂直”是常见且重要的概念。判断两个平面是否垂直，是学习空间几何的重要内容之一。本文将对“面面垂直”的判定方法进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、面面垂直的定义
当两个平面相交于一条直线，且它们的二面角为直角（90°）时，称这两个平面互相垂直。记作：α ⊥ β。
二、面面垂直的判定方法
以下是常见的几种判定方法：
| 判定方法 | 具体描述 | 适用条件 |
| 1. 面面垂直的定义法 | 若两平面所成的二面角为直角，则两平面垂直 | 适用于已知二面角的情况 |
| 2. 线面垂直推导法 | 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直 | 适用于已知某直线与另一平面垂直的情况 |
| 3. 法向量法 | 若两个平面的法向量垂直，则两平面垂直 | 适用于坐标系下计算的情况 |
| 4. 垂直于同一直线的两个平面 | 若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行，而非垂直 | 用于区分平行与垂直的关系 |
| 5. 特殊图形法 | 如长方体、正方体中相邻的两个面一定垂直 | 适用于具体几何体中的判定 |
三、典型应用举例
1. 线面垂直推导法示例
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，若平面 ABB₁A₁ 内的直线 AA₁ 垂直于平面 ABCD，则平面 ABB₁A₁ 与平面 ABCD 垂直。
2. 法向量法示例
设平面 α 的法向量为 n₁ = (1, 2, 3)，平面 β 的法向量为 n₂ = (−2, 1, 0)。
计算点积：n₁·n₂ = 1×(−2) + 2×1 + 3×0 = −2 + 2 + 0 = 0，说明两法向量垂直，因此两平面也垂直。
四、注意事项
- 判断两个平面是否垂直时，应先确定它们是否相交；
- 若两平面不相交（即平行），则不可能垂直；
- 使用法向量法时，需确保法向量方向正确；
- 实际题目中常结合图形和代数方法综合判断。
五、总结
面面垂直的判定是立体几何中的重要知识点，掌握其判定方法有助于解决实际问题。通过定义、线面垂直关系、法向量等方法，可以有效判断两个平面是否垂直。合理运用这些方法，能提高解题效率和准确性。
