【莱布尼兹公式】莱布尼兹公式是数学中一个重要的求导法则，尤其在微积分领域中应用广泛。它用于计算两个函数乘积的高阶导数，能够简化复杂的导数运算过程。该公式由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出，因此得名。
一、莱布尼兹公式的定义
莱布尼兹公式指出，对于两个可导函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，它们的乘积 $ u(x)v(x) $ 的 $ n $ 阶导数可以表示为：
$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$
其中：
- $ \binom{n}{k} $ 是组合数，即从 $ n $ 个元素中取 $ k $ 个的组合方式数；
- $ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的第 $ k $ 阶导数；
- $ v^{(n-k)} $ 表示 $ v $ 的第 $ n-k $ 阶导数。
二、公式特点
1. 对称性：公式中的每一项都是对称的，即 $ u $ 和 $ v $ 的导数位置可以互换。
2. 组合系数：使用组合数来分配不同阶导数的权重。
3. 适用范围广：适用于任何可导的函数，尤其是当 $ u $ 或 $ v $ 的高阶导数容易计算时。
三、实际应用举例
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 |
| $ u(x) = x^2 $ | $ 2x $ | $ 2 $ | $ 0 $ |
| $ v(x) = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
根据莱布尼兹公式，计算 $ (x^2 e^x)^{(2)} $：
$$
(x^2 e^x)^{(2)} = \binom{2}{0} x^2 (e^x)^{(2)} + \binom{2}{1} (x^2)' (e^x)^{(1)} + \binom{2}{2} (x^2)^{(2)} e^x
$$
$$
= 1 \cdot x^2 \cdot e^x + 2 \cdot 2x \cdot e^x + 1 \cdot 2 \cdot e^x = x^2 e^x + 4x e^x + 2 e^x
$$
四、莱布尼兹公式与牛顿-莱布尼兹公式的区别
| 概念 | 莱布尼兹公式 | 牛顿-莱布尼兹公式 |
| 应用领域 | 多项式函数的高阶导数 | 定积分的计算 |
| 核心内容 | 导数的展开形式 | 积分与原函数的关系 |
| 公式形式 | $ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} $ | $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $ |
五、总结
莱布尼兹公式是一种强大的工具，特别适用于需要计算多个函数乘积的高阶导数的情况。它不仅具有清晰的数学结构，而且在工程、物理和经济学等领域都有广泛应用。掌握这一公式有助于提高微积分问题的解决效率，并加深对导数性质的理解。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 莱布尼兹公式 |
| 提出者 | 莱布尼茨 |
| 公式 | $ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} $ |
| 应用场景 | 高阶导数计算、多项式乘积导数 |
| 特点 | 对称性、组合系数、适用性广 |
| 与牛顿-莱布尼兹公式区别 | 导数 vs 积分；展开式 vs 原函数差值 |
