【什么是叉乘】叉乘，又称向量积或外积，是向量运算中的一种重要形式，主要用于三维空间中的向量计算。它在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。叉乘的结果是一个向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
以下是关于叉乘的详细总结：
一、基本定义
| 项目 | 内容 | ||||
| 名称 | 叉乘（Cross Product） | ||||
| 数学符号 | $\vec{a} \times \vec{b}$ | ||||
| 运算对象 | 两个向量（通常为三维向量） | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于原两向量所在的平面 | ||||
| 大小 | $ | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中$\theta$为两向量夹角 |
二、几何意义
- 叉乘的结果向量垂直于原来的两个向量。
- 其模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积。
- 方向遵循右手定则：拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，中指方向即为结果向量的方向。
三、代数计算方式
设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的叉乘为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
也可以通过行列式的方式表示：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
四、性质与应用
| 性质/应用 | 内容 |
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 与标量乘法关系 | $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$ |
| 应用领域 | 力矩计算、旋转方向判断、计算机图形学中法线计算等 |
五、注意事项
- 叉乘仅适用于三维向量（或可以扩展到三维空间的二维向量）。
- 如果两个向量共线，则它们的叉乘为零向量。
- 不同于点乘（内积），叉乘的结果不是标量，而是向量。
通过以上内容可以看出，叉乘是一种非常有用的数学工具，尤其在处理空间向量关系时具有重要意义。理解其定义、计算方法和实际应用，有助于更好地掌握相关领域的知识。
