任取一个四位数，只要四个数字不全相同，按数字递减顺序排列，构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列，构成最小数作为减数，其差就会得6174；如不是6174，则按上述方法再作减法，至多不过7步就必然得到6174。
如取四位数5462，按以上方法作运算如下： 6542-2456=4086 8640-0468=8172 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176 7641-1467=6174 那么，出现6174的结果究竟有什么科学依据呢？ 设M是一个四位数而且四个数字不全相同，把M的数字按递减的次序排列， 记作M(减)； 然后再把M中的数字按递增次序排列，记作M增,记差M(减)-M(增)=D1，从M到D1是经过上述步骤得来的，我们把它看作一种变换，从M变换到D1记作：T(M)= D1把D1视作M一样，按上述法则做减法得到D2 ，也可看作是一种变换，把D1变换成D2， 记作：T(D1)= D2 同样D2可以变换为D3；D3变换为D4……，既T(D2)= D3, T(D3)= D4…… 现在我们要证明，至多是重复7次变换就得D7=6174。
证：四位数总共有104=10000个，其中除去四个数字全相同的，余下104-10=9990个数字不全相同．我们首先证明，变换T把这9990个数只变换成54个不同的四位数． 设a、b、c、d是M的数字，并令： a≥b≥c≥d 因为它们不全相等，上式中的等号不能同时成立．我们计算T(M) M(减)=1000a+100b+10c+d M(增)=1000d+100c+10b+a T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c) 我们注意到T(M)仅依赖于（a-d）与（b－c），因为数字a，b，c，d不全相等，因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d＞0而b-c≥0． 此外b、c在a与d之间，所以a-d≥b-c，这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值，并且如果它取这个集合的某个值n，b-c只能取小于n的值，至多取n． 例如，若a-d=1，则b-c只能在0与1中选到，在这种情况下，T(M)只能取值： 999×(1)+90×(0)=0999 999×(1)+90×(1)=1089 类似地,若a-d=2, T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值．把a-d=1,a-d=2,…，a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来，我们就得到2＋3＋4＋…＋10＝54 这就是T(M)所可能取的值的个数．在54个可能值中，又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值，这些数值再变换T(M)中都对应相同的值（数学上称这两个数等价），剔除等价的因数，在T(M)的54个可能值中，只有30个是不等价的,它们是： 9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550, 8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544． 对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数．证毕．太深奥了 任取一个四位数，只要四个数字不全相同，按数字递减顺序排列，构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列，构成最小数作为减数，其差就会得6174；如不是6174，则按上述方法再作减法，至多不过7步就必然得到6174。
如取四位数5462，按以上方法作运算如下： 6542-2456=4086 8640-0468=8172 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176 7641-1467=6174 那么，出现6174的结果究竟有什么科学依据呢？ 设M是一个四位数而且四个数字不全相同，把M的数字按递减的次序排列， 记作M(减)； 然后再把M中的数字按递增次序排列，记作M增,记差M(减)-M(增)=D1，从M到D1是经过上述步骤得来的，我们把它看作一种变换，从M变换到D1记作：T(M)= D1把D1视作M一样，按上述法则做减法得到D2 ，也可看作是一种变换，把D1变换成D2， 记作：T(D1)= D2 同样D2可以变换为D3；D3变换为D4……，既T(D2)= D3, T(D3)= D4…… 现在我们要证明，至多是重复7次变换就得D7=6174。
证：四位数总共有104=10000个，其中除去四个数字全相同的，余下104-10=9990个数字不全相同．我们首先证明，变换T把这9990个数只变换成54个不同的四位数． 设a、b、c、d是M的数字，并令： a≥b≥c≥d 因为它们不全相等，上式中的等号不能同时成立．我们计算T(M) M(减)=1000a+100b+10c+d M(增)=1000d+100c+10b+a T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c) 我们注意到T(M)仅依赖于（a-d）与（b－c），因为数字a，b，c，d不全相等，因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d＞0而b-c≥0． 此外b、c在a与d之间，所以a-d≥b-c，这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值，并且如果它取这个集合的某个值n，b-c只能取小于n的值，至多取n． 例如，若a-d=1，则b-c只能在0与1中选到，在这种情况下，T(M)只能取值： 999×(1)+90×(0)=0999 999×(1)+90×(1)=1089 类似地,若a-d=2, T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值．把a-d=1,a-d=2,…，a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来，我们就得到2＋3＋4＋…＋10＝54 这就是T(M)所可能取的值的个数．在54个可能值中，又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值，这些数值再变换T(M)中都对应相同的值（数学上称这两个数等价），剔除等价的因数，在T(M)的54个可能值中，只有30个是不等价的,它们是： 9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550, 8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544． 对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数．证毕．。