【什么叫基本一致收敛】在数学分析中，尤其是函数序列和级数的研究中，“基本一致收敛”是一个重要的概念。它与“一致收敛”密切相关，但又有所区别。理解“基本一致收敛”的含义，有助于更深入地掌握函数列的收敛性质。
一、
“基本一致收敛”是函数序列在某个区间上的一种收敛形式，它要求在除去一个测度为零的小集合外，函数序列在该区间上是“一致收敛”的。换句话说，虽然函数序列在整体上可能不一致收敛，但在大部分区域上（除了极小部分），它们的行为是类似于一致收敛的。
与“一致收敛”相比，“基本一致收敛”对收敛的要求更为宽松。它允许在某些“小”区域上出现不一致收敛的现象，只要这些区域的“大小”可以忽略不计。这种概念在实变函数论、测度论以及泛函分析中具有重要意义。
二、表格对比
| 概念 | 定义 | 要求 | 是否允许例外区域 | 测度意义 | 应用领域 | ||
| 一致收敛 | 对于任意给定的 ε > 0，存在 N，使得当 n > N 时，对于所有 x ∈ D，都有 | f_n(x) - f(x) | < ε | 在整个定义域 D 上同时成立 | 不允许例外区域 | 无 | 分析学、微积分 |
| 基本一致收敛 | 在定义域 D 上，除了一个测度为零的集合外，函数列 {f_n} 在其余部分上一致收敛 | 在大部分区域上一致收敛 | 允许测度为零的例外区域 | 有 | 实变函数、测度论、泛函分析 |
三、简要说明
- 一致收敛：是最严格的收敛方式，要求在整个定义域上都满足收敛条件。
- 基本一致收敛：是一种更灵活的收敛形式，适用于那些在“大多数”点上收敛良好，但可能存在少量“异常点”的情况。
- 测度为零的集合：指的是在某种测量标准下（如勒贝格测度）“体积”为零的集合，例如单个点或可数集。
四、举例说明
设函数序列 {f_n(x)} 在区间 [0,1] 上定义，其中 f_n(x) = x^n。这个序列在 [0,1) 上一致收敛到 0，但在 x=1 处不收敛。因此，它在 [0,1] 上并不是一致收敛的。但如果考虑去掉 x=1 这一点（其测度为零），则在 [0,1) 上它是基本一致收敛的。
五、总结
“基本一致收敛”是介于“一致收敛”和“几乎处处收敛”之间的一种收敛形式，它在处理复杂函数序列时提供了更强的灵活性。理解这一概念，有助于更好地分析函数列的极限行为，尤其是在涉及测度和积分理论的问题中。
