【求等比数列的通项公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。掌握等比数列的通项公式对于解决相关问题具有重要意义。本文将对等比数列的通项公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用。
一、等比数列的基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个比值称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。
若首项为 $ a_1 $，则等比数列的一般形式为：
$$
a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \dots
$$
二、通项公式推导
设等比数列的第 $ n $ 项为 $ a_n $，根据定义可以得到以下规律：
- 第 1 项：$ a_1 = a_1 $
- 第 2 项：$ a_2 = a_1 \cdot q $
- 第 3 项：$ a_3 = a_1 \cdot q^2 $
- 第 4 项：$ a_4 = a_1 \cdot q^3 $
- ...
- 第 $ n $ 项：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
因此，等比数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ q $：公比
- $ n $：项数
三、通项公式的应用举例
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ q $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ |
| 1 | 3 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 6 |
| 3 | 3 | 2 | 12 |
| 4 | 3 | 2 | 24 |
| 5 | 3 | 2 | 48 |
如上表所示，当 $ a_1 = 3 $，$ q = 2 $ 时，第 5 项为 $ a_5 = 3 \times 2^{4} = 48 $。
四、总结
等比数列的通项公式是：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
该公式可用于快速计算等比数列中的任意一项，尤其适用于已知首项和公比的情况下。掌握这一公式有助于更高效地分析和解决实际问题，例如复利计算、人口增长模型等。
五、常见问题解答
| 问题 | 解答 |
| 已知首项和公比，如何求第 $ n $ 项？ | 使用通项公式 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 已知两项，如何求公比？ | 利用 $ q = \frac{a_{n}}{a_{m}} $ 的 $ (n - m) $ 次方根 |
| 等比数列是否一定递增？ | 不一定，取决于公比 $ q $ 的大小和符号 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解等比数列的通项公式及其应用方法，为后续学习打下坚实基础。
