【微积分入门基本公式】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要研究函数的变化率（微分）和累积量（积分）。对于初学者来说，掌握一些基本的微分与积分公式是学习微积分的关键。以下是对微积分入门常用公式的总结。
一、导数基本公式
导数用于描述函数在某一点处的变化率。以下是常见的导数公式：
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 一般指数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
二、积分基本公式
积分是导数的逆运算，用于求函数的面积或累积值。以下是常见的不定积分公式：
| 函数形式 | 积分公式 | 说明 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | 常数的积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | 幂函数的积分 | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | 指数函数的积分 | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ | 倒数函数的积分 |
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | 一般指数函数的积分 | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数的积分 |
三、常见微积分规则
除了上述基本公式外，还需要掌握一些常用的微积分规则，以处理更复杂的函数：
1. 线性法则：
$ \int [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx $
2. 乘积法则（微分）：
$ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
3. 商法则（微分）：
$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $
4. 换元法（积分）：
$ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $，其中 $ u = g(x) $
5. 分部积分法（积分）：
$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
四、小结
微积分的核心在于理解导数与积分的关系，以及如何灵活运用基本公式和规则解决实际问题。通过不断练习，可以逐步提高对微积分的理解和应用能力。以上内容为微积分入门阶段的基础知识，适合初学者系统掌握。
