【求函数值域的方法和例题】在数学学习中，求函数的值域是一个重要的知识点，它帮助我们了解函数在整个定义域内的取值范围。掌握不同的求值域方法，有助于我们在解题时灵活应对各种类型的函数问题。以下是对常见求函数值域方法的总结，并辅以典型例题进行说明。

一、常用求函数值域的方法

二、典型例题解析

例题1：一次函数

题目：求函数 $ f(x) = 2x + 3 $ 的值域。

解法：直接法

由于该函数是线性函数，定义域为全体实数，因此值域也是全体实数。

答案：$ (-\infty, +\infty) $

例题2：二次函数

题目：求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的值域。

解法：配方法（属于直接法）

$$

f(x) = (x-2)^2 + 1

$$

因为平方项非负，所以最小值为 1，无最大值。

答案：$ [1, +\infty) $

例题3：分式函数

题目：求函数 $ f(x) = \frac{1}{x-1} $ 的值域。

解法：反函数法

设 $ y = \frac{1}{x-1} $，解得 $ x = 1 + \frac{1}{y} $，则 $ y \neq 0 $。

答案：$ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $

例题4：三角函数

题目：求函数 $ f(x) = \sin x + \cos x $ 的值域。

解法：不等式法

利用公式 $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) $，

因为 $ \sin $ 函数的值域为 $ [-1, 1] $，故整个函数的值域为 $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $。

答案：$ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $

例题5：复合函数

题目：求函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $ 的值域。

解法：直接法

由于 $ x^2 + 1 \geq 1 $，所以 $ \sqrt{x^2 + 1} \geq 1 $，且无上限。

答案：$ [1, +\infty) $

三、总结

求函数的值域需要结合函数的类型与特性，选择合适的方法。对于简单函数可以直接分析；对于复杂函数则需借助图像、反函数、不等式等手段。掌握这些方法并熟练应用，是提高数学解题能力的重要一步。

附录：值域求解方法选择建议表

通过不断练习和归纳，可以更高效地掌握求函数值域的各种技巧，提升数学思维与解题能力。