【等比数列常用公式是什么】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。为了帮助大家更好地理解和掌握等比数列的相关知识，以下是对等比数列常用公式的总结。
一、基本概念
- 等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这样的数列叫做等比数列。
- 公比（记作 $ q $）：等比数列中相邻两项的比值。
- 首项（记作 $ a_1 $）：数列的第一项。
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 用于求第n项的值 | ||
| 前n项和公式（$ q \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | 求前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和（$ | q | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ | 当公比绝对值小于1时，无限项的和 |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b $ 是 $ a $ 和 $ c $ 的等比中项 | ||
| 通项公式（递推形式） | $ a_{n+1} = a_n \cdot q $ | 表示后一项与前一项的关系 |
三、应用举例
例1：已知等比数列首项为2，公比为3，求第5项是多少？
解：
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
例2：求等比数列1, 2, 4, 8, 16的前5项和。
解：
$ S_5 = 1 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = \frac{32 - 1}{1} = 31 $
四、注意事项
- 当公比 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，此时前n项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $。
- 当 $
- 在实际问题中，需注意数列是否为等比数列，可通过验证相邻两项的比值是否一致来判断。
通过以上内容，我们可以系统地了解等比数列的常用公式及其应用场景。掌握这些公式有助于提高解题效率，并为后续学习更复杂的数学知识打下坚实基础。
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