【大学常用极限公式有哪些】在大学数学学习中，极限是微积分、高等数学以及数学分析中的核心内容之一。掌握常用的极限公式不仅有助于理解函数的变化趋势，还能为求导、积分等后续内容打下坚实基础。以下是一些大学阶段常见的极限公式，以加表格的形式进行展示。
一、基本极限公式
1. 常数极限
当 $ x \to a $（$ a $ 为常数）时，
$$
\lim_{x \to a} C = C
$$
其中 $ C $ 为任意常数。
2. 变量趋近于无穷大
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0
$$
3. 指数函数极限
$$
\lim_{x \to \infty} e^x = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0
$$
4. 对数函数极限
$$
\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty, \quad \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty
$$
二、重要极限公式
| 公式 | 描述 | 极限值 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 常见三角函数极限 | 1 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $ | 与余弦相关的极限 | $ \frac{1}{2} $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ | 指数函数的泰勒展开极限 | 1 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $ | 对数函数的泰勒展开极限 | 1 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k $ | 幂函数的极限 | $ k $ |
三、无穷小与无穷大的比较
| 极限形式 | 描述 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{x^n}{e^x} = 0 $ | 多项式 vs 指数函数 | 0 |
| $ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $ | 对数 vs 多项式 | 0 |
| $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 $ | 多项式 vs 指数函数 | 0 |
四、洛必达法则适用的极限
当遇到 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 型不定式时，可使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
注意：必须满足 $ f(a) = g(a) = 0 $ 或 $ f(a) = g(a) = \infty $ 的条件。
五、常见极限组合
| 极限表达式 | 描述 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 $ | 余弦函数与线性项的比 | 0 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $ | 正切函数的极限 | 1 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a $ | 指数函数的极限 | $ \ln a $ |
| $ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e $ | 自然对数底 $ e $ 的定义 | $ e $ |
总结
大学阶段的极限公式种类繁多，但掌握上述基本和常用公式，能够帮助学生在解题过程中快速判断极限的存在性和计算方式。建议结合图形理解极限的意义，并通过练习不断加深对极限概念的理解。同时，在遇到复杂极限问题时，灵活运用洛必达法则、泰勒展开等方法，能有效提高解题效率。
