【定积分求导公式】在微积分的学习中，定积分与导数之间的关系是一个非常重要的知识点。尤其是“变限积分”的求导问题，常常出现在各种数学题和考试中。本文将对常见的定积分求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念回顾
定积分是函数在某个区间上的积分值，而求导则是对函数的变化率进行计算。当积分的上下限不再是常数，而是关于变量的函数时，这就涉及到变限积分的求导问题。
二、常见定积分求导公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 基本公式（牛顿-莱布尼兹公式） | $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$ | 当积分上限为变量 $x$，下限为常数 $a$ 时，导数等于被积函数在上限处的值 |
| 变上限积分求导 | $\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$ | 积分上限是 $x$ 的函数 $u(x)$，应用链式法则 |
| 双变限积分求导 | $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)$ | 上下限都是 $x$ 的函数，使用差法并结合链式法则 |
| 复合变限积分求导 | $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$ | 类似于双变限，适用于更复杂的复合函数情况 |
三、典型例题解析
例1：
计算 $\frac{d}{dx} \int_0^x \sin t \, dt$
解： 根据基本公式，结果为 $\sin x$
例2：
计算 $\frac{d}{dx} \int_1^{x^2} e^t \, dt$
解： 应用变上限公式，得 $e^{x^2} \cdot 2x$
例3：
计算 $\frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^{x^3} \ln t \, dt$
解： 应用双变限公式，得 $\ln(x^3) \cdot 3x^2 - \ln(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
四、注意事项
1. 注意积分上下限是否为变量，若为变量需使用链式法则；
2. 区分变限积分与常数积分，后者导数为零；
3. 避免混淆不定积分与定积分，求导时应关注积分的上下限变化。
通过以上总结，我们可以清晰地掌握定积分求导的基本方法和常用公式。在实际应用中，灵活运用这些公式能够帮助我们快速解决相关的数学问题。
