arcsin 平方 x 的原函数，也就是求不定积分∫(arcsinx)² dx，最终结果是 x 乘以 (arcsinx)² 加上 2 倍根号下 (1 减 x 平方) 乘以 arcsinx 减去 2x 再加积分常数 C，这个积分主要使用分部积分法完成运算，arcsin 平方 x 也就是 (arcsinx)²，它的定义域是 x 属于负 1 到 1，整个推导过程在这个定义域内进行，分部积分是处理反三角函数幂次积分的常用思路，把反三角函数平方项当作 u，dx 当作 dv，一步步拆分降次，最后化简得到原函数表达式。

原理说明

分部积分公式是 ∫u dv = uv 减 ∫v du，对于 arcsin 平方 x 的积分，因为被积函数是反三角函数的平方，直接换元很难一步算出，所以选择分部积分，令 u 等于 (arcsinx)²，dv 等于 dx，那么 v 就等于 x，同时计算 du，根据反正弦导数公式，arcsinx 的导数是 1 除以根号下 (1 减 x 平方)，所以 du 等于 2 乘以 arcsinx 除以根号下 (1 减 x 平方) 再乘以 dx。

详细推导步骤

第一步 第一次分部积分

∫(arcsinx)² dx

= x (arcsinx)² 减 ∫ x 乘以 2 arcsinx 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

= x (arcsinx)² 减 2 ∫ x arcsinx 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

第二步 对剩余积分继续分部积分

记剩余积分 I = ∫ x arcsinx 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

令 u 等于 arcsinx，dv 等于 x 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

计算 v，对 x 除以根号下 (1 减 x 平方) 积分，得到 v 等于 负根号下 (1 减 x 平方)

du 等于 1 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

代入分部积分公式

I = 负根号下 (1 减 x 平方) arcsinx 减 ∫ 负根号下 (1 减 x 平方) 乘以 1 除以根号下 (1 减 x 平方) dx

化简里面的根号可以约掉

I = 负根号下 (1 减 x 平方) arcsinx + ∫ dx

I = 负根号下 (1 减 x 平方) arcsinx + x

第三步 回代合并

原式 = x (arcsinx)² 减 2 乘以 [负根号下 (1 减 x 平方) arcsinx + x] + C

展开整理

原式 = x (arcsinx)² + 2 根号下 (1 减 x 平方) arcsinx 减 2x + C

第四步 求导校验

把得到的原函数对 x 求导，求导之后可以还原回 (arcsinx)²，验证推导结果正确。

关键要点对照表

表格

arcsin 平方 x 的原函数，核心就是连续两次分部积分，借助反正弦求导公式消去根号项，最后合并化简，掌握这个题型之后，同类的 arccos 平方 x 积分可以使用相同思路完成计算。

【相关 FAQ】

问题 1 arcsin 平方 x 的原函数 推导的时候为什么要用分部积分法

回答 1 arcsin 平方 x 的原函数属于反三角函数平方积分，没有直接积分公式，分部积分可以把高次反三角函数逐步降次，是求解 arcsin 平方 x 的原函数最合适的方法。

问题 2 arcsin 平方 x 的原函数 积分结果后面为什么要加 C

回答 2 arcsin 平方 x 的原函数是不定积分，不定积分代表一族原函数，所有原函数之间只相差常数，所以求解 arcsin 平方 x 的原函数末尾需要加上积分常数 C。

问题 3 arcsin 平方 x 的原函数 可以使用换元法令 t 等于 arcsinx 来计算吗

回答 3 arcsin 平方 x 的原函数可以令 t 等于 arcsinx 换元，此时 x 等于 sint，dx 等于 cost dt，代入之后变成∫t² cost dt，依然需要分部积分完成 arcsin 平方 x 的原函数计算。

【免责申明】

本文内容仅为高等数学不定积分教学演示，答题请按照教材规范书写，注意定义域与积分常数。