【求导法则公式】在微积分的学习中，求导是理解函数变化率的重要工具。掌握各种求导法则和公式，不仅有助于解决实际问题，还能提高数学思维能力。本文将总结常见的求导法则，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本求导法则
1. 常数法则
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数法则
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $，其中 $ n $ 为任意实数。
3. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x) \pm v'(x) $
4. 积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $
5. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则 $ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} $
6. 链式法则（复合函数求导）
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则 $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $
二、常见函数的导数公式
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \cdot \ln a $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \cdot \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cdot \cot x $ |
三、综合应用示例
例如：求函数 $ f(x) = (x^2 + 1)\sin x $ 的导数。
解：使用积法则
$ f'(x) = (x^2 + 1)' \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot (\sin x)' $
$ = 2x \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot \cos x $
四、小结
掌握这些基本的求导法则和常见函数的导数公式，是进行复杂函数求导的基础。通过不断练习，可以更熟练地应用这些规则，提高解题效率。同时，注意在实际运算中结合具体题目灵活运用，避免机械套用公式。
附表：求导法则与公式速查表
| 法则/公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数法则 | $ f(x) = C \Rightarrow f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数法则 | $ f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1} $ | 指数函数的导数 |
| 和差法则 | $ f(x) = u \pm v \Rightarrow f' = u' \pm v' $ | 加减法的导数 |
| 积法则 | $ f(x) = uv \Rightarrow f' = u'v + uv' $ | 乘积的导数 |
| 商法则 | $ f(x) = \frac{u}{v} \Rightarrow f' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 分式的导数 |
| 链式法则 | $ f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ | 复合函数的导数 |
通过以上内容的整理与归纳，希望对您的学习和复习有所帮助。
