【如何用泰勒公式求极限】在高等数学中，求极限是常见的问题之一。当遇到复杂的函数或含有高阶无穷小的表达式时，使用泰勒公式（Taylor expansion）是一种非常有效的方法。泰勒公式可以将一个函数在某一点附近展开为多项式形式，从而简化极限的计算过程。
一、泰勒公式的简要回顾
泰勒公式是将一个可导函数在某一点附近的值用多项式近似表示的一种方法。设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处有 $ n $ 阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)
$$
其中，$ R_n(x) $ 是余项，通常表示为 $ o((x - x_0)^n) $ 或 $ O((x - x_0)^{n+1}) $。
二、使用泰勒公式求极限的基本步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定极限的形式，如 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ 或 $ \lim_{x \to 0} f(x) $ |
| 2 | 选择合适的展开点 $ x_0 $，通常是 $ x \to 0 $ 或 $ x \to a $ |
| 3 | 将分子和分母分别用泰勒公式展开到适当的阶数 |
| 4 | 代入极限表达式，化简后提取主部（即最低阶非零项） |
| 5 | 利用主部计算极限的值 |
三、典型例题与分析
例1：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
$$
- 解法：利用 $ \sin x $ 的泰勒展开：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
- 代入原式：
$$
\frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
- 结果：极限为 $ -\frac{1}{6} $
例2：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}
$$
- 解法：利用 $ e^x $ 的泰勒展开：
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
$$
- 代入原式：
$$
\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
- 结果：极限为 $ \frac{1}{2} $
四、常见函数的泰勒展开（常用）
| 函数 | 泰勒展开（在 $ x=0 $ 处） |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ |
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots $ |
五、注意事项
- 展开的阶数应足够高，以确保能够识别出极限中的主部；
- 若分子或分母中存在多个高阶无穷小，需统一展开至相同阶数；
- 对于复杂表达式，可先进行变量替换，使展开更方便；
- 适当使用等价无穷小替换，可简化运算。
六、总结
使用泰勒公式求极限是一种系统且高效的方法，尤其适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限问题。通过合理选择展开点和阶数，可以有效地将极限问题转化为多项式之间的比较，从而快速得出结果。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 泰勒公式法 |
| 适用对象 | 含有高阶无穷小、复杂函数的极限 |
| 关键步骤 | 展开、代入、化简、提取主部 |
| 常见展开 | $ e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x) $ 等 |
| 注意事项 | 阶数匹配、变量替换、等价替换 |
