【判断函数是否连续】在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化是否平滑、无跳跃或断裂。判断一个函数是否连续，通常需要根据函数的定义、极限的存在性以及函数值与极限值是否相等来进行分析。
一、函数连续性的定义
设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处有定义，若满足以下条件：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$
则称函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处是连续的；否则为不连续。
二、判断函数是否连续的方法总结
| 判断步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定定义域 | 首先确定函数在该点是否有定义，若无定义，则直接不连续。 |
| 2. 计算极限 | 计算 $ \lim_{x \to x_0} f(x) $，观察是否存在有限值。 |
| 3. 比较极限与函数值 | 若极限存在且等于 $ f(x_0) $，则连续；否则不连续。 |
| 4. 分析间断点类型 | 若不连续，需进一步判断是可去间断点、跳跃间断点还是无穷间断点。 |
三、常见函数的连续性分析
| 函数类型 | 是否连续 | 说明 |
| 多项式函数 | 是 | 在整个实数域上连续 |
| 有理函数（如 $ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $） | 除分母为零的点外连续 | 在分母不为零的区间内连续 |
| 三角函数（如 $ \sin x, \cos x $） | 是 | 在其定义域内连续 |
| 指数函数（如 $ e^x $） | 是 | 在整个实数域上连续 |
| 对数函数（如 $ \ln x $） | 是 | 在定义域 $ (0, +\infty) $ 上连续 |
| 分段函数 | 视情况而定 | 在分段点处需特别验证连续性 |
四、典型例子分析
例1：
函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，在 $ x = 1 $ 处是否连续？
- 定义域：$ x \neq 1 $
- 极限：$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 $
- 函数值：$ f(1) $ 不存在
- 结论：不连续，是可去间断点
例2：
函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 & x < 0 \\
2x + 1 & x \geq 0
\end{cases} $，在 $ x = 0 $ 处是否连续？
- 左极限：$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 $
- 右极限：$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $
- 函数值：$ f(0) = 1 $
- 结论：不连续，是跳跃间断点
五、总结
判断函数是否连续，核心在于验证极限是否存在并等于函数值。对于复杂函数，尤其是分段函数和有理函数，需要特别关注定义域和关键点的极限行为。掌握这些方法有助于更深入理解函数的性质，并为后续的导数、积分等内容打下基础。
