【十个常见规律公式】在日常学习和工作中，掌握一些常见的规律公式可以帮助我们更高效地解决问题、预测趋势或分析数据。以下总结了十个在数学、物理、经济、统计等领域中经常用到的规律公式，便于理解和应用。
一、等差数列求和公式
公式：
$$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$
其中，$ S_n $ 是前 $ n $ 项的和，$ a_1 $ 是首项，$ a_n $ 是第 $ n $ 项。
二、等比数列求和公式
公式：
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
三、二次函数顶点公式
公式：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
用于求抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点横坐标。
四、勾股定理
公式：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
适用于直角三角形，其中 $ a $ 和 $ b $ 是直角边，$ c $ 是斜边。
五、平均速度公式
公式：
$$ v = \frac{s}{t} $$
其中，$ v $ 是平均速度，$ s $ 是路程，$ t $ 是时间。
六、利息计算公式（单利）
公式：
$$ I = P \cdot r \cdot t $$
其中，$ I $ 是利息，$ P $ 是本金，$ r $ 是利率，$ t $ 是时间。
七、复利计算公式
公式：
$$ A = P(1 + r)^t $$
其中，$ A $ 是本息和，$ P $ 是本金，$ r $ 是年利率，$ t $ 是年数。
八、加权平均数公式
公式：
$$ \bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} $$
其中，$ x_i $ 是各个数值，$ w_i $ 是对应的权重。
九、概率乘法公式（独立事件）
公式：
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
适用于两个独立事件同时发生的概率。
十、均方误差（MSE）公式
公式：
$$ \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 $$
常用于评估回归模型的准确性，其中 $ y_i $ 是实际值，$ \hat{y}_i $ 是预测值。
表格总结：十个常见规律公式
| 序号 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 1 | 等差数列求和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 2 | 等比数列求和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 3 | 二次函数顶点 | $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 4 | 勾股定理 | $ a^2 + b^2 = c^2 $ |
| 5 | 平均速度 | $ v = \frac{s}{t} $ |
| 6 | 单利计算 | $ I = P \cdot r \cdot t $ |
| 7 | 复利计算 | $ A = P(1 + r)^t $ |
| 8 | 加权平均数 | $ \bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} $ |
| 9 | 独立事件概率 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ |
| 10 | 均方误差（MSE） | $ \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 $ |
这些公式虽然看似简单，但在实际应用中却具有极高的价值。理解并灵活运用它们，能够帮助我们在多个领域中提高效率和准确度。
