【平面法向量.】在三维几何中，平面法向量是一个重要的概念，用于描述平面的方向特性。它不仅有助于计算点到平面的距离，还能用于判断直线与平面的关系、平面之间的夹角等。以下是对“平面法向量”的总结与分析。
一、基本概念
平面法向量是指垂直于该平面的向量。一个平面上的所有点都满足一个线性方程，其形式为：
$$
Ax + By + Cz + D = 0
$$
其中，向量 $(A, B, C)$ 即为该平面的一个法向量。法向量不唯一，但方向一致的向量均可作为该平面的法向量。
二、法向量的求法
1. 已知三点求法向量
若已知平面上三个不共线的点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$、$P_2(x_2, y_2, z_2)$、$P_3(x_3, y_3, z_3)$，则可先求出两个向量：
$$
\vec{v_1} = P_2 - P_1,\quad \vec{v_2} = P_3 - P_1
$$
然后通过叉乘得到法向量：
$$
\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}
$$
2. 已知平面方程求法向量
若已知平面方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$，则法向量为 $(A, B, C)$。
三、法向量的应用
| 应用场景 | 说明 | ||
| 判断点是否在平面上 | 将点代入平面方程，若满足，则点在平面上；否则不在。 | ||
| 计算点到平面的距离 | 公式为：$\frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ |
| 直线与平面的关系 | 若直线方向向量与法向量垂直，则直线在平面内或平行于平面；若不垂直，则相交。 | ||
| 平面间的夹角 | 两平面的夹角等于它们法向量的夹角或补角。 |
四、法向量的性质
- 法向量与平面上的任何向量垂直。
- 同一平面的不同法向量方向相同或相反。
- 法向量可以归一化（单位向量），便于计算。
五、总结表
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 垂直于平面的向量 |
| 求法 | 三点叉乘或平面方程系数 |
| 应用 | 点与平面关系、距离计算、平面夹角等 |
| 特性 | 方向一致、与平面上所有向量垂直 |
通过以上内容可以看出，平面法向量是理解三维几何结构的重要工具，掌握其定义和应用对于学习空间解析几何具有重要意义。
