【可导必定连续什么意思】在数学分析中，尤其是微积分的学习过程中，“可导必定连续”是一个非常重要的概念。它揭示了函数的可导性与连续性之间的关系。理解这一概念有助于我们更深入地掌握函数的变化规律和极限性质。
一、
“可导必定连续”是指：如果一个函数在某一点处可导，那么它在该点处一定连续。换句话说，可导是连续的一个更强条件，即可导的函数必然满足连续的条件，但连续的函数不一定可导。
这个结论来源于极限的定义。当函数在某点可导时，意味着其导数存在，而导数的存在要求函数在该点的左右极限必须相等且等于函数值，这正是连续性的定义。
需要注意的是，虽然可导必连续，但反过来并不成立。例如，绝对值函数 $ f(x) =
二、表格对比
| 概念 | 定义说明 | 是否可导 | 是否连续 | 举例说明 | ||
| 可导 | 函数在某点的导数存在，即极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ 存在 | ✅ | ✅ | $ f(x) = x^2 $ 在任意点可导 | ||
| 连续 | 函数在某点的极限值等于该点的函数值，即 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | ❌ | ✅ | $ f(x) = | x | $ 在 $ x=0 $ 连续 |
| 不连续 | 函数在某点的极限值不等于该点的函数值或极限不存在 | ❌ | ❌ | $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x=0 $ 不连续 |
三、总结
“可导必定连续”是微积分中的一个基本定理，强调了导数存在的前提条件之一是函数在该点必须连续。这一关系不仅帮助我们判断函数的可导性，也为后续学习导数的应用（如极值、单调性、凹凸性等）打下基础。
在实际应用中，我们应记住：可导 → 连续，但连续 ≠ 可导。理解这一点有助于我们在处理函数问题时更加严谨和准确。
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