【均值不等式公式是哪四个】在数学学习中，均值不等式是一个非常重要的知识点，尤其在高中数学和大学基础数学中频繁出现。均值不等式主要用来比较不同类型的平均数之间的大小关系，帮助我们在实际问题中进行估算、证明或优化。
常见的“均值不等式”通常指的是四种基本形式，它们分别是：
- 算术平均（AM）
- 几何平均（GM）
- 调和平均（HM）
- 平方平均（QM）
这四种平均数之间存在一定的大小关系，即 AM ≥ GM ≥ HM，而平方平均则通常大于等于算术平均。
以下是这四种均值不等式的具体定义与关系总结：
| 名称 | 公式表达 | 说明 |
| 算术平均 | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} $ | 所有数的总和除以个数 |
| 几何平均 | $ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | 所有数的乘积的n次方根 |
| 调和平均 | $ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} $ | 各数倒数的算术平均的倒数 |
| 平方平均 | $ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} $ | 各数平方的算术平均的平方根 |
均值不等式的核心关系：
对于正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有以下不等式成立：
$$
\text{平方平均} \geq \text{算术平均} \geq \text{几何平均} \geq \text{调和平均}
$$
当且仅当所有数相等时，上述不等式中的“≥”变为“=”。
应用举例：
例如，若 $ a = 2 $，$ b = 8 $，那么：
- 算术平均 = $ \frac{2 + 8}{2} = 5 $
- 几何平均 = $ \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 $
- 调和平均 = $ \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}} = \frac{2}{\frac{5}{8}} = \frac{16}{5} = 3.2 $
- 平方平均 = $ \sqrt{\frac{2^2 + 8^2}{2}} = \sqrt{\frac{4 + 64}{2}} = \sqrt{34} \approx 5.83 $
可以看出，平方平均 > 算术平均 > 几何平均 > 调和平均。
总结：
均值不等式是数学中一种重要的工具，用于比较不同类型的平均数之间的关系。掌握这四种平均数及其不等式关系，有助于在数学分析、优化问题和实际应用中更有效地解决问题。
