【极限常用的9个公式】在高等数学中，极限是微积分的基础，掌握常见的极限公式对于学习导数、积分以及函数的连续性等内容至关重要。本文将总结极限中常用的9个公式，并以表格形式呈现，帮助读者快速理解和记忆。
一、极限常用公式总结
1. 基本极限公式
- $\lim_{x \to a} c = c$（c为常数）
- $\lim_{x \to a} x = a$
2. 多项式极限
- $\lim_{x \to a} (x^n) = a^n$（n为正整数）
3. 指数与对数极限
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
4. 三角函数极限
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
5. 常见无穷小量比较
- 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\ln(1 + x) \sim x$，$e^x - 1 \sim x$
6. 重要极限
- $\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{1/x} = e$
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
7. 洛必达法则适用条件
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，则可使用洛必达法则：
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$（若右边存在）
8. 泰勒展开式近似
- $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$
9. 无穷大与无穷小的关系
- 若 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$，$\lim_{x \to a} g(x) = \infty$，则 $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x)$ 可能为有限值或无穷大，需进一步分析。
二、常用极限公式汇总表
| 公式编号 | 公式表达式 | 极限结果 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c$ | $c$ | 常数极限 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x$ | $a$ | 自变量极限 |
| 3 | $\lim_{x \to a} x^n$ | $a^n$ | 多项式极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | $1$ | 指数函数极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ | $1$ | 对数函数极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | $1$ | 三角函数极限 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | 余弦函数极限 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{1/x}$ | $e$ | 重要极限 |
| 9 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $e$ | 另一个重要极限 |
三、结语
以上9个极限公式是学习微积分过程中最基础、最常用的工具。熟练掌握这些公式不仅有助于解题，还能加深对函数行为的理解。建议结合实际题目练习，逐步提升对极限问题的分析和解决能力。
