【基础解系的求法】在高等代数中，线性方程组的解的结构是研究的重点之一。对于齐次线性方程组而言，其解集构成一个向量空间，而这个向量空间的一组基被称为该方程组的基础解系。掌握基础解系的求法，有助于深入理解线性方程组的解的结构和性质。
一、基础解系的概念
设有一个齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
若该方程组的系数矩阵为 $ A $，则其解集是一个向量空间，称为解空间。基础解系是这个解空间中的一组极大线性无关组，即能够通过线性组合表示出所有解的最小向量组。
二、基础解系的求法步骤
求基础解系的基本思路是：将系数矩阵化为行最简形矩阵，然后根据自由变量确定解的表达式，并构造基础解系。
具体步骤如下：
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 写出系数矩阵 $ A $，并构造增广矩阵（对于齐次方程组，常数项全为0） |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵 |
| 3 | 确定主变量（即含主元的列对应的变量）和自由变量（未被主元控制的变量） |
| 4 | 将自由变量分别取值为1或0，其余变量由方程组解出，得到一组解向量 |
| 5 | 所有这些解向量组成一个极大线性无关组，即为该方程组的基础解系 |
三、示例说明
考虑以下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
对该矩阵进行初等行变换，得到行最简形矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
由此可知，主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2 $ 和 $ x_3 $。
令 $ x_2 = s $, $ x_3 = t $，则由第一行可得：
$$
x_1 = -x_2 + x_3 = -s + t
$$
因此，通解为：
$$
\vec{x} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
所以，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 基础解系 | 齐次方程组解空间的一组极大线性无关组 |
| 求法关键 | 化简矩阵、确定主变量与自由变量、构造解向量 |
| 表达方式 | 用自由变量赋值后得到一组解向量，作为基础解系 |
| 应用意义 | 用于描述齐次方程组的所有解的结构，是线性代数中的重要工具 |
通过以上方法，可以系统地求出任意齐次线性方程组的基础解系。掌握这一方法，不仅有助于解决实际问题，还能加深对线性空间的理解。
