【平面解析几何公式汇总】在数学学习中，平面解析几何是研究平面上点、线、面之间关系的重要工具。它通过坐标系将几何问题转化为代数问题，便于计算和分析。为了方便学习和复习，本文对平面解析几何中常见的公式进行了系统总结，以文字说明加表格的形式呈现，帮助读者快速掌握核心内容。
一、点与坐标
1. 两点之间的距离公式
设点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，则两点之间的距离为：
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
2. 中点公式
点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $ 的中点 $ M $ 坐标为：
$$
M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
二、直线方程
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 点斜式 | $ y - y_0 = k(x - x_0) $ | $ k $ 为斜率，$ (x_0, y_0) $ 为直线上一点 |
| 斜截式 | $ y = kx + b $ | $ k $ 为斜率，$ b $ 为 y 轴截距 |
| 两点式 | $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $ | 经过点 $ (x_1, y_1) $ 和 $ (x_2, y_2) $ |
| 截距式 | $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $ | $ a $、$ b $ 分别为 x 轴和 y 轴的截距 |
| 一般式 | $ Ax + By + C = 0 $ | $ A $、$ B $ 不同时为零 |
三、直线的位置关系
1. 两条直线平行
若两直线斜率相等，则它们平行（除非重合）。
2. 两条直线垂直
若两直线斜率乘积为 -1，则它们垂直。
3. 点到直线的距离公式
点 $ P(x_0, y_0) $ 到直线 $ Ax + By + C = 0 $ 的距离为：
$$
d = \frac{
$$
四、圆的方程
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 标准式 | $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ | 圆心为 $ (a, b) $，半径为 $ r $ |
| 一般式 | $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ | 可化为标准式，圆心为 $ (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) $，半径为 $ \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}} $ |
五、椭圆、双曲线、抛物线
| 曲线类型 | 标准方程 | 说明 |
| 椭圆 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 长轴沿 x 轴或 y 轴 |
| 双曲线 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 开口沿 x 轴方向 |
| 抛物线 | $ y^2 = 4px $ 或 $ x^2 = 4py $ | 开口方向由 p 决定 |
六、向量与点积
1. 向量的模长
向量 $ \vec{v} = (x, y) $ 的模长为：
$$
$$
2. 向量点积
向量 $ \vec{a} = (x_1, y_1) $ 和 $ \vec{b} = (x_2, y_2) $ 的点积为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
3. 点积与夹角的关系
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} =
$$
总结
平面解析几何是连接几何与代数的重要桥梁，掌握其基本公式有助于解决各种几何问题。本文从点、直线、圆到二次曲线，全面整理了常见公式的表达形式及其应用场景。建议结合具体例题进行练习，以加深理解与应用能力。
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