【两个不独立的正态分布相加怎么计算】在概率统计中，正态分布是一种常见的连续概率分布，具有良好的数学性质。当两个正态分布变量相加时，若它们是独立的，结果仍为正态分布，且其均值和方差可以简单相加。然而，当两个正态分布不独立时，情况会变得复杂一些，需要考虑它们之间的协方差。
本文将对“两个不独立的正态分布相加”的计算方法进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、基本概念回顾
| 概念 | 定义 |
| 正态分布 | 记作 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，表示随机变量 $ X $ 服从均值为 $ \mu $、方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布 |
| 独立性 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则 $ \text{Cov}(X,Y) = 0 $ |
| 协方差 | 衡量两个随机变量之间线性相关程度，$ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] $ |
二、两个不独立的正态分布相加的计算方法
假设：
- $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $
- $ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $
- $ X $ 与 $ Y $ 不独立，协方差为 $ \text{Cov}(X,Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2 $，其中 $ \rho $ 是相关系数（范围：$ -1 \leq \rho \leq 1 $）
则：
$$
Z = X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho \sigma_1 \sigma_2)
$$
即：
- 均值：$ \mu_Z = \mu_1 + \mu_2 $
- 方差：$ \sigma_Z^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho \sigma_1 \sigma_2 $
三、关键点总结
| 项目 | 内容 |
| 分布类型 | 仍为正态分布 |
| 均值 | 两变量均值之和 |
| 方差 | 两变量方差之和 + 两倍协方差 |
| 协方差影响 | 若协方差为正，方差增大；若为负，方差减小 |
| 独立情况 | 当 $ \rho = 0 $ 时，方差为 $ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 $，与独立情况一致 |
四、示例说明
设：
- $ X \sim N(5, 4) $
- $ Y \sim N(3, 9) $
- $ \text{Cov}(X,Y) = 6 $
则：
$$
Z = X + Y \sim N(5+3, 4+9+2\times6) = N(8, 25)
$$
即：
- 均值：8
- 标准差：5
五、注意事项
- 实际应用中，需通过数据或模型估计相关系数 $ \rho $ 或协方差。
- 若无法确定相关性，应谨慎处理，避免错误推断。
- 在金融、工程等领域，非独立变量的叠加常用于风险评估与系统建模。
六、总结
当两个正态分布变量不独立时，它们的和仍然是正态分布，但其方差不再只是两个变量方差的简单相加，而是要考虑它们之间的协方差。因此，在实际计算中，必须明确两变量的相关性，才能准确得出结果。
| 总结要点 | 内容 |
| 是否正态 | 是 |
| 均值计算 | 直接相加 |
| 方差计算 | 包含协方差项 |
| 关键参数 | 相关系数或协方差 |
| 应用场景 | 风险分析、系统建模等 |
如需进一步了解多变量正态分布的组合问题，可参考多元正态分布理论。
