【拉氏变换公式表】拉普拉斯变换（Laplace Transform）是工程数学和控制系统分析中非常重要的工具，它能够将时域中的微分方程转换为复频域中的代数方程，从而简化系统的分析与求解。为了便于查阅和应用，以下是一份常用的拉氏变换公式总结，涵盖常见函数及其对应的拉氏变换结果。
一、拉氏变换基本概念
拉普拉斯变换的定义如下：
$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt
$$
其中 $ s $ 是一个复数变量，$ f(t) $ 是定义在 $ t \geq 0 $ 上的实函数。
二、常用拉氏变换公式表
| 函数 $ f(t) $ | 拉氏变换 $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) $ | 条件 | ||
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | $ s \in \mathbb{C} $ | ||
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ t^n $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ | $ n \in \mathbb{N}, \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ | ||
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ e^{at} \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ | ||
| $ e^{at} \cos(\omega t) $ | $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ | ||
| $ t^n e^{at} $ | $ \frac{n!}{(s - a)^{n+1}} $ | $ n \in \mathbb{N}, \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ | ||
| $ \sinh(bt) $ | $ \frac{b}{s^2 - b^2} $ | $ \text{Re}(s) > | b | $ |
| $ \cosh(bt) $ | $ \frac{s}{s^2 - b^2} $ | $ \text{Re}(s) > | b | $ |
三、小结
拉氏变换在信号处理、电路分析、控制理论等领域有着广泛应用。掌握常见的拉氏变换公式有助于快速进行系统建模和分析。本文整理了从单位冲激函数到双曲函数等常用函数的拉氏变换表达式，并附上了适用条件，方便实际应用时参考。
通过合理使用这些公式，可以有效简化微分方程的求解过程，提高工程设计和分析的效率。建议在学习过程中结合实例进行练习，以加深对拉氏变换的理解与运用能力。
