【什么是方程的增根】在解方程的过程中，尤其是分式方程、无理方程或通过代数变形得到的方程中，有时会出现一些不符合原方程的解，这些解被称为“增根”。增根的出现通常是因为在解题过程中进行了某些可能改变方程等价性的操作，例如两边同时乘以含有未知数的表达式，或者对根号进行平方等。因此，在得出解后，必须对解进行验证，以排除增根。
一、增根的定义
| 概念 | 解释 |
| 增根 | 在解方程过程中引入的、不满足原方程的解。 |
| 出现原因 | 由于对方程进行了非等价变形（如两边乘以变量表达式、平方等）。 |
二、增根产生的常见原因
| 原因 | 说明 |
| 分式方程中乘以最简公分母 | 可能引入使分母为零的值，导致增根。 |
| 无理方程中两边平方 | 可能引入与原方程不等价的解。 |
| 方程两边同时除以某个表达式 | 如果该表达式可能为零，则可能导致漏解或增根。 |
三、如何识别和排除增根
| 步骤 | 内容 |
| 1. 解方程 | 按照常规方法求出所有可能的解。 |
| 2. 验证解 | 将每个解代入原方程，判断是否成立。 |
| 3. 排除增根 | 若解不满足原方程，则为增根，应予以排除。 |
四、举例说明
例1：分式方程
方程：
$$
\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x+1}
$$
解法：
两边同乘以 $(x-2)(x+1)$，得：
$$
x+1 = 3(x-2)
$$
解得：
$$
x = \frac{7}{2}
$$
验证：将 $x = \frac{7}{2}$ 代入原方程，发现成立，因此不是增根。
例2：无理方程
方程：
$$
\sqrt{x+3} = x - 1
$$
解法：
两边平方得：
$$
x + 3 = (x - 1)^2
$$
解得：
$$
x^2 - 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}
$$
验证：
- $x = 1 + \sqrt{3}$ 代入原方程，成立。
- $x = 1 - \sqrt{3}$ 代入后不成立，因此是增根。
五、总结
增根是解方程时容易出现的一种错误解，其本质是由于在解题过程中进行了非等价变换。为了避免增根的干扰，必须在解完方程后，对每一个解进行验证。只有符合原方程的解才是真正的解，而增根则需要被剔除。掌握这一知识点，有助于提高解题的准确性和严谨性。
