【求根公式解一元二次方程】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。解这类方程最常用的方法之一是使用求根公式，也称为求根公式法或判别式法。它能够直接给出方程的两个解，适用于所有一元二次方程。
一、求根公式的推导
对于一般形式的一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
可以通过配方法推导出求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中，$ b^2 - 4ac $ 称为判别式（记作 $ \Delta $），它决定了方程的解的情况：
- 当 $ \Delta > 0 $：方程有两个不相等的实数根；
- 当 $ \Delta = 0 $：方程有两个相等的实数根（即重根）；
- 当 $ \Delta < 0 $：方程无实数根，但有两个共轭复数根。
二、使用求根公式解题的步骤
1. 确认方程是否为一元二次方程，即 $ a \neq 0 $；
2. 确定系数 $ a $、$ b $、$ c $；
3. 计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $；
4. 根据判别式的值判断解的情况；
5. 代入求根公式，计算出两个解。
三、示例解析
| 方程 | 系数 | 判别式 $ \Delta $ | 解的情况 | 根 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | a=1, b=-5, c=6 | $ (-5)^2 - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 $ | 两个不等实根 | $ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = 3, 2 $ |
| $ 2x^2 + 4x + 2 = 0 $ | a=2, b=4, c=2 | $ 4^2 - 4×2×2 = 16 - 16 = 0 $ | 一个重根 | $ x = \frac{-4}{4} = -1 $ |
| $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ | a=1, b=2, c=5 | $ 2^2 - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 $ | 无实根 | $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i $ |
四、总结
通过使用求根公式，可以快速准确地解出一元二次方程的所有可能解。这种方法不仅适用于整数系数的方程，也适用于分数、小数甚至含有字母的方程。掌握这一方法，有助于提高解题效率，并加深对二次方程性质的理解。
在实际应用中，若判别式为负数，说明方程没有实数解，但可以根据需要引入复数来表示解。因此，求根公式是一把“万能钥匙”，适用于各种一元二次方程的求解过程。
