【一个向量垂直于另外一个向量公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。如果两个向量的点积为零，则这两个向量互相垂直。
以下是对“一个向量垂直于另外一个向量公式”的总结，并以表格形式展示相关公式和说明。
一、基本概念
- 向量：具有大小和方向的量，通常表示为 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$。
- 点积（内积）：两个向量对应分量相乘后求和的结果，记作 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
- 垂直：两个向量夹角为 $90^\circ$，即正交。
二、判断两向量是否垂直的公式
若两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ 满足：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = 0
$$
则称这两个向量 互相垂直。
三、常见情况下的公式汇总
| 向量维度 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 2D | $\vec{a} = (a_1, a_2)$ $\vec{b} = (b_1, b_2)$ | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$ |
| 3D | $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ |
| n维 | $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i$ | $\sum_{i=1}^{n} a_ib_i = 0$ |
四、应用举例
假设 $\vec{a} = (2, -1)$，$\vec{b} = (1, 2)$，判断它们是否垂直：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 2 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是垂直的。
五、注意事项
- 点积为零是判断垂直的充要条件。
- 若两个向量中有一个为零向量（即所有分量均为0），则它们与任何向量都视为垂直。
- 在三维空间中，垂直向量还可以通过叉积的模长来辅助判断（但叉积仅适用于三维）。
通过以上内容可以看出，判断两个向量是否垂直的关键在于计算它们的点积。只要点积为零，即可确认它们垂直。这一方法简单、直观，在数学、物理和工程中广泛应用。
