【基本不等式的公式】在数学学习中，基本不等式是代数和分析中的重要内容，广泛应用于求最值、证明不等式以及解决实际问题。基本不等式主要包括均值不等式、柯西不等式、三角不等式等，它们是数学思维训练的重要工具。

以下是对几种常见基本不等式的总结，并以表格形式展示其公式及适用条件。

一、均值不等式（AM ≥ GM）

定义：对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：

$$

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

$$

当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。

适用范围：适用于所有非负实数，常用于求极值问题。

二、柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

定义：对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有：

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

$$

当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $（或其中一个全为0）时，等号成立。

适用范围：适用于向量、序列的内积运算，常用于几何与代数问题。

三、三角不等式（Triangle Inequality）

定义：对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：

$$

$$

适用范围：适用于绝对值、向量模长等，是度量空间的基本性质之一。

四、排序不等式（Rearrangement Inequality）

定义：设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则对任意排列 $ c_1, c_2, \ldots, c_n $，有：

$$

a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1c_1 + a_2c_2 + \cdots + a_nc_n \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1

$$

适用范围：适用于有序数组的乘积和比较，常用于优化问题。

五、伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）

定义：对于任意实数 $ x \geq -1 $，且 $ r \geq 1 $，有：

$$

(1 + x)^r \geq 1 + rx

$$

当且仅当 $ x = 0 $ 或 $ r = 1 $ 时，等号成立。

适用范围：适用于指数函数的近似计算和不等式证明。

六、幂平均不等式（Power Mean Inequality）

定义：对于正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ p > q $，有：

$$

\left( \frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n} \right)^{1/p} \geq \left( \frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n} \right)^{1/q}

$$

当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。

适用范围：适用于不同次幂的平均值比较，常用于分析学。

基本不等式汇总表

通过掌握这些基本不等式，可以更灵活地处理各类数学问题，提高逻辑推理能力和解题效率。建议在实际应用中结合具体题目进行练习，加深理解。