【平均相对误差的计算公式】在数据分析、统计学以及工程测量等领域中，评估模型或测量结果的准确性是至关重要的。平均相对误差（Mean Relative Error, MRE）是一种常用的衡量指标，用于反映预测值与实际值之间的偏差程度。它能够帮助我们更直观地理解误差的比例关系，尤其适用于不同量纲或数量级的数据比较。

一、平均相对误差的定义

平均相对误差是指所有观测值与预测值之间相对误差的平均值。其核心思想是将每个数据点的误差除以实际值，从而得到一个无量纲的误差比例，再对这些比例取平均，以衡量整体的相对误差水平。

二、平均相对误差的计算公式

平均相对误差的计算公式如下：

$$

MRE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \right

$$

其中：

- $ y_i $：第 $ i $ 个实际观测值

- $ \hat{y}_i $：第 $ i $ 个预测值

- $ n $：数据点的总数

- $ \cdot $：绝对值符号

该公式表示对每个数据点计算其相对误差，并求出所有相对误差的平均值。

三、平均相对误差的特点

1. 无量纲性：由于是相对误差，因此不受单位影响，便于不同数据集之间的比较。

2. 对异常值敏感：如果某个实际值非常小，会导致相对误差数值变大，从而影响整体平均值。

3. 适用于比例误差分析：特别适合用于评价预测模型在比例上的准确性。

四、示例说明

以下是一个简单的示例，展示如何计算平均相对误差：

根据上述表格计算平均相对误差：

$$

MRE = \frac{0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.125}{4} = \frac{0.525}{4} = 0.13125

$$

即平均相对误差为 13.125%。

五、总结

平均相对误差是衡量预测精度的重要指标之一，尤其适用于需要关注误差比例的场景。通过计算每个数据点的相对误差并求其平均，可以更全面地了解模型或测量系统的性能。需要注意的是，在使用过程中应结合实际数据特点，避免因小数值导致的误差放大问题。