【和差化积公式】在三角函数的学习中，和差化积公式是一类非常重要的恒等式，它们可以将两个三角函数的和或差转化为乘积形式，便于简化计算和分析。这些公式广泛应用于数学、物理以及工程领域，尤其在处理周期性变化的问题时具有重要作用。
一、和差化积公式的总结
以下是常见的和差化积公式，适用于正弦（sin）和余弦（cos）函数：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 正弦差化积 | $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 余弦和化积 | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 余弦差化积 | $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 正切和化积 | $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ |
| 正切差化积 | $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ |
二、应用举例
1. 例1：利用正弦和化积公式简化表达式
计算 $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$
解：
$$
\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = 2\sin(45^\circ)\cos(30^\circ)
$$
代入数值：
$$
2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
$$
2. 例2：利用余弦差化积公式简化表达式
化简 $\cos 60^\circ - \cos 30^\circ$
解：
$$
\cos 60^\circ - \cos 30^\circ = -2\sin\left(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{60^\circ - 30^\circ}{2}\right) = -2\sin(45^\circ)\sin(15^\circ)
$$
代入数值：
$$
-2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \text{进一步计算可得具体数值}
$$
三、小结
和差化积公式是三角函数中非常实用的工具，能够帮助我们将复杂的加减运算转化为乘法运算，从而更方便地进行计算和分析。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。
建议在学习过程中多做练习，灵活运用这些公式，以提升数学思维能力与实际应用水平。
