【两向量外积怎么计算】在向量运算中，外积（也称为叉积）是一种重要的数学操作，常用于三维空间中的物理和工程问题。外积的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小则与两个向量的夹角有关。本文将对两向量外积的计算方法进行总结，并以表格形式展示关键内容。

一、外积的基本概念

外积（Cross Product）是两个向量之间的一种乘法运算，记作 a × b，其中 a 和 b 是三维空间中的向量。外积的结果是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。

- 方向：由右手定则决定。

- 大小：等于两个向量模长的乘积乘以它们夹角的正弦值，即 a·b·sinθ。

- 性质：外积不满足交换律，即 a × b ≠ b × a，而是 a × b = - (b × a)。

二、外积的计算公式

假设两个向量分别为：

$$

\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \quad

\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}

$$

则它们的外积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix}

a_2b_3 - a_3b_2 \\

a_3b_1 - a_1b_3 \\

a_1b_2 - a_2b_1

\end{bmatrix}

$$

也可以通过行列式的方式表示：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

三、外积的几何意义

- 外积的模长表示由两个向量所构成的平行四边形的面积。

- 外积的方向垂直于这两个向量所在的平面，符合右手螺旋法则。

四、外积的应用场景

五、外积与点积的区别

六、外积计算示例

设向量 a = [1, 2, 3]，b = [4, 5, 6]，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{bmatrix}

(2×6 - 3×5) \\

(3×4 - 1×6) \\

(1×5 - 2×4)

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

12 - 15 \\

12 - 6 \\

5 - 8

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-3 \\

6 \\

-3

\end{bmatrix}

$$

七、总结

两向量外积是向量代数中非常重要的运算之一，广泛应用于多个科学和工程领域。掌握其计算方法和几何意义，有助于理解更复杂的物理现象和数学模型。通过上述表格与说明，可以清晰地了解外积的定义、公式、应用及与其他运算的区别。