【求极限lim的常用公式有哪些】在数学分析中，求极限是微积分中的重要内容，尤其在高等数学、函数分析以及工程计算中广泛应用。掌握一些常用的极限公式，能够帮助我们更快、更准确地解决相关问题。以下是一些求极限时常用的公式和技巧，结合实际例子进行总结。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 | 示例 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 | $\lim_{x \to 2} 5 = 5$ |
| $\lim_{x \to a} x^n = a^n$ | $x^n$ 的极限为 $a^n$ | $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的基本极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2$ |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限形式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ | 不存在（趋向正或负无穷） | 左右极限不一致 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ | 0 | 无穷大倒数为零 |
| $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ | 0 | 有界函数乘以无穷小仍为无穷小 |
三、洛必达法则（L’Hospital’s Rule）
适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式：
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
示例：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
$$
四、泰勒展开法
当函数在某点附近可展开为泰勒级数时，可以利用展开式来求极限。
示例：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
五、夹逼定理（Squeeze Theorem）
若对所有 $x$ 在某个区间内满足：
$$
f(x) \leq g(x) \leq h(x)
$$
且 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则：
$$
\lim_{x \to a} g(x) = L
$$
示例：
$$
\lim_{x \to 0} x^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0
$$
因为 $-x^2 \leq x^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$，而 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$
六、常见函数的极限性质
| 函数类型 | 极限形式 | 说明 |
| 多项式函数 | $\lim_{x \to \infty} P(x) = \pm \infty$ | 最高次项决定极限方向 |
| 分式函数 | $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$ | 若次数相同，比值为首项系数；若分子高，发散；反之收敛于0 |
| 指数函数 | $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ | 指数增长/衰减 |
| 对数函数 | $\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty$ | 对数增长缓慢 |
总结
在求极限的过程中，灵活运用上述公式和方法，可以大大提高解题效率。建议在学习过程中多做练习，熟悉不同类型的极限问题，并掌握其对应的处理方式。同时，注意极限存在的条件，避免盲目套用公式导致错误。
通过不断积累和实践，你将能更加熟练地应对各种极限问题。
