【数列的全部公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的一组数，常见的有等差数列、等比数列、求和公式、通项公式等。掌握这些数列的公式对于学习高中或大学阶段的数学非常重要。以下是对常见数列及其公式的总结。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列，这个常数称为公差（d）。
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $a_1$ 是首项，n 是项数 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $S_n$ 是前n项的和 |
| 另一种求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差 |
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列，这个常数称为公比（r）。
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $a_1$ 是首项，n 是项数 |
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | $S_n$ 是前n项的和 |
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 所有项都相等 |
三、特殊数列
1. 自然数列
自然数列是从1开始的正整数序列：1, 2, 3, 4, ...
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = n $ | 第n项是n |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 求1到n的和 |
2. 平方数列
平方数列是自然数的平方：1, 4, 9, 16, ...
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = n^2 $ | 第n项是n的平方 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | 求1²+2²+…+n²的和 |
3. 立方数列
立方数列是自然数的立方：1, 8, 27, 64, ...
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = n^3 $ | 第n项是n的立方 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ | 求1³+2³+…+n³的和 |
四、其他常见公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 数列的递推公式 | $ a_{n+1} = a_n + d $ 或 $ a_{n+1} = a_n \cdot r $ | 表示数列的生成方式 | ||
| 数列的极限 | 若 $ | r | < 1 $，则 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $ | 等比数列的极限 |
| 数列的收敛性 | 若 $ | r | \geq 1 $，则等比数列发散 | 判断数列是否收敛 |
五、总结
数列是数学中非常基础且重要的内容，掌握其通项公式和求和公式有助于解决实际问题。无论是等差数列、等比数列，还是特殊的自然数列、平方数列、立方数列，都有各自的规律和公式可以应用。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地分析和解决问题。
| 数列类型 | 通项公式 | 求和公式 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 自然数列 | $ a_n = n $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ |
以上就是关于数列的全部公式总结，希望对你的学习有所帮助。
