【叉乘的运算公式】在向量运算中，叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原有两个向量所在的平面，大小则与两个向量的模长及夹角有关。

一、叉乘的基本概念

叉乘仅适用于三维空间中的两个向量，记作：

$$

\vec{a} \times \vec{b}

$$

- 结果向量的方向：由右手定则确定，即四指从 $\vec{a}$ 指向 $\vec{b}$，拇指指向叉乘结果方向。

- 结果向量的大小：等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即：

$$

$$

二、叉乘的运算公式

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的叉乘为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, \quad a_3b_1 - a_1b_3, \quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、叉乘的性质总结

四、实际应用举例

假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \quad 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \quad 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)

= (12 - 15, \quad 12 - 6, \quad 5 - 8)

= (-3, \quad 6, \quad -3)

$$

五、总结

叉乘是向量运算中一种非常重要的工具，能够帮助我们快速计算出一个与两个向量都垂直的新向量。掌握其运算公式和性质，有助于在多个领域中更高效地进行数学建模与分析。