【正弦函数余弦函数的单调性与最值】正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两种函数，它们在数学中具有重要的应用价值。在学习过程中，了解它们的单调性以及最大值和最小值是非常关键的。以下是对正弦函数和余弦函数在单调性与最值方面的总结。
一、正弦函数 $ y = \sin x $
定义域：全体实数
值域：$[-1, 1]$
周期：$2\pi$
单调性：
| 区间 | 单调性 |
| $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$ | 单调递减 |
| $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | 单调递增 |
| $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ | 单调递减 |
最值：
- 最大值：1，当 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时取得
- 最小值：-1，当 $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时取得
二、余弦函数 $ y = \cos x $
定义域：全体实数
值域：$[-1, 1]$
周期：$2\pi$
单调性：
| 区间 | 单调性 |
| $(-\pi, 0)$ | 单调递增 |
| $(0, \pi)$ | 单调递减 |
| $(\pi, 2\pi)$ | 单调递增 |
最值：
- 最大值：1，当 $x = 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时取得
- 最小值：-1，当 $x = \pi + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时取得
三、总结对比表
| 特性 | 正弦函数 $ y = \sin x $ | 余弦函数 $ y = \cos x $ |
| 定义域 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| 值域 | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ |
| 周期 | $2\pi$ | $2\pi$ |
| 单调递增区间 | $(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ | $(-\pi + 2k\pi, 0 + 2k\pi)$ |
| 单调递减区间 | $(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$ | $(0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi)$ |
| 最大值 | 1，当 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ | 1，当 $x = 2k\pi$ |
| 最小值 | -1，当 $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ | -1，当 $x = \pi + 2k\pi$ |
通过以上分析可以看出，正弦函数和余弦函数在单调性和最值方面有相似之处，但也存在明显差异。理解这些性质有助于更深入地掌握三角函数的图像和行为，为后续学习三角函数的图像变换、方程求解等打下坚实基础。
