在数学分析中，华里士公式（Wallis Formula）是一个非常重要的结果，它与无穷乘积和三角函数有关。本文将从头开始介绍这一公式的推导过程，并给出其具体形式及其应用。

一、背景知识

华里士公式最早由英国数学家约翰·华里士（John Wallis）提出。这个公式主要描述了正弦函数的平方在区间 [0, π] 上的积分值之间的关系。通过这一公式，我们可以得到一个关于 π 的无穷乘积表达式。

二、公式的形式

华里士公式可以表示为：

\[

\prod_{n=1}^\infty \left( \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{\pi}{2}

\]

这个公式揭示了无穷乘积与圆周率之间的联系。

三、推导过程

为了推导上述公式，我们首先考虑正弦函数的平方积分：

\[

I_n = \int_0^\pi (\sin x)^{2n} dx

\]

利用递归关系，我们可以找到 \( I_n \) 的表达式。具体地，通过分部积分法，可以证明：

\[

I_n = \frac{2n-1}{2n} I_{n-1}

\]

结合初始条件 \( I_0 = \pi \)，我们可以通过迭代得到：

\[

I_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \pi

\]

其中，双阶乘符号 \( n!! \) 表示所有小于等于 \( n \) 的同奇偶数的乘积。

进一步化简，可以得到：

\[

\frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{2n-1}{2n}

\]

将这些比值相乘，我们最终得到：

\[

\prod_{n=1}^\infty \left( \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{\pi}{2}

\]

四、结论

华里士公式不仅展示了无穷乘积与圆周率之间的深刻联系，而且在许多数学领域中都有着广泛的应用。例如，在概率论、数论以及物理学中，都可以看到它的身影。

通过上述推导过程，我们可以清晰地理解华里士公式的来源及其背后的数学逻辑。希望本文能够帮助读者更好地掌握这一经典结果。