在数学和物理学中，向量是描述空间中方向和大小的重要工具。而向量之间的点乘（或称内积）则是衡量两个向量之间关系的一种重要运算。本文将从几何和代数的角度对向量的点乘公式进行详细的推导。
几何角度的推导
假设我们有两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们在二维平面上的坐标分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$。根据几何定义，向量的点乘可以表示为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta
$$
其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 是这两个向量之间的夹角。
为了进一步推导出具体的计算公式，我们需要利用三角函数的基本性质。首先，我们可以将向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示为：
$$
\vec{a} = (x_1, y_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2)
$$
向量的模长可以通过勾股定理计算：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}
$$
接下来，考虑向量的单位向量形式。设 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$ 分别是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的单位向量，则有：
$$
\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}, \quad \hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}
$$
由于单位向量的方向相同，因此它们的点乘等于它们之间的夹角余弦值：
$$
\hat{a} \cdot \hat{b} = \cos\theta
$$
结合上述公式，我们可以得到：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| (\hat{a} \cdot \hat{b}) = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta
$$
代数角度的推导
从代数角度来看，向量的点乘可以直接通过坐标来计算。设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则点乘的定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
为了验证这一结果，我们可以将其与几何定义联系起来。我们知道：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
$$
代入几何表达式，我们得到：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = (x_1^2 + y_1^2)^{1/2} (x_2^2 + y_2^2)^{1/2} \cos\theta
$$
通过对比，我们可以发现代数表达式与几何定义完全一致。
结论
通过几何和代数两种方法的推导，我们得到了向量点乘的公式：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
这一公式不仅适用于二维空间，还可以推广到更高维度的空间中。希望本文的推导过程能够帮助读者更好地理解向量点乘的本质及其应用价值。
