在数学分析中，函数的连续性、可导性和可微性是三个重要的概念，它们之间存在密切的联系，但彼此之间的关系并非完全等价。本文将围绕“连续可导可微的关系”这一主题展开讨论，旨在帮助读者更清晰地理解这些概念的本质及其相互之间的关联。

首先，我们需要明确几个基本定义：

- 连续性：如果一个函数在其定义域内的每一点都满足极限值等于函数值，则称该函数在此点连续。若函数在整个定义域内都连续，则称其为连续函数。

- 可导性：对于实值函数f(x)，如果其导数f'(x)在某一点x处存在，则称f(x)在这一点可导。这意味着函数图像在这一点有明确的切线方向。

- 可微性：可微性通常指的是函数能够被局部近似为线性函数的能力。具体来说，如果函数f(x)在某一点x处存在一个线性映射L使得lim[h→0] |f(x+h)-f(x)-L(h)|/|h|=0成立，则称f(x)在x处可微。

接下来我们来看这三个性质之间的关系：

1. 可导必连续：这是最基础也是最重要的结论之一。直观上讲，如果一个函数在某一点可以画出一条光滑的切线（即它在这点可导），那么这条曲线必然不会出现断裂或跳跃现象，因此它是连续的。数学上可以通过反证法证明这一点。

2. 可微等价于可导：在单变量情形下，可微性和可导性实际上是同一个概念的不同表述方式。换句话说，在一维空间中，“可微”和“可导”这两个术语是可以互换使用的。

3. 连续未必可导：尽管连续性是可导性的必要条件，但它并不是充分条件。也就是说，即使一个函数是连续的，也不一定意味着它在任何一点都是可导的。例如，绝对值函数|x|在x=0处是连续但不可导的。

4. 不可导不一定不连续：有时候，即使函数在某些点不可导，它仍然可能保持整体上的连续性。比如分段定义的函数，在分段边界处可能会失去可导性，但只要保证左右极限相等且无间断点，这样的函数依然是连续的。

综上所述，我们可以总结出如下几点：

- 可导性包含了连续性的要求；

- 单变量下的可微性和可导性是一致的；

- 连续性并不足以保证可导性；

- 不可导的情况并不妨碍函数的整体连续性。

通过以上分析可以看出，虽然连续性、可导性以及可微性之间有着紧密的联系，但它们各自具有独特的意义，并且在实际应用中有不同的应用场景。深入理解这些概念及其之间的关系有助于我们更好地掌握高等数学中的核心理论，并将其应用于解决各种实际问题当中。