在概率论的学习过程中，我们常常会遇到需要计算组合数的情况。特别是在古典概率的场景下，当涉及到多个事件同时发生的概率时，组合数的乘法运算显得尤为重要。那么，究竟该如何正确地进行这种计算呢？本文将通过具体实例来详细解析这一过程。

首先，我们需要明确什么是组合数。组合数是指从n个不同元素中选取r个元素的方法总数，记作C(n,r)，其公式为：

\[ C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

其中，“!”表示阶乘，即一个正整数及其所有小于它的正整数的乘积。

接下来，让我们来看一个具体的例子。假设我们有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子，从中随机抽取两个球。问题是如何计算抽到一红一蓝的概率？

第一步是确定总的可能情况数。根据组合数的定义，从8个球中抽取2个的总情况数为：

\[ C(8,2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

第二步是分别计算抽到一红一蓝的情况数。从5个红球中选1个，再从3个蓝球中选1个，这相当于两个独立事件的组合数相乘：

\[ C(5,1) \times C(3,1) = \left(\frac{5!}{1!(5-1)!}\right) \times \left(\frac{3!}{1!(3-1)!}\right) = (5) \times (3) = 15 \]

因此，抽到一红一蓝的概率就是这两种情况数之比：

\[ P = \frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}} = \frac{15}{28} \]

通过这个例子可以看出，在处理古典概率问题时，如果涉及到多个条件下的组合数相乘，关键是确保每个步骤中的组合数计算准确无误，并且理解这些组合数代表的具体含义。此外，还需要注意事件之间的独立性，以避免重复计数或遗漏情况。

总之，掌握好组合数的基本概念及其应用方法，对于解决复杂的概率问题是十分必要的。希望本文能帮助大家更好地理解和运用古典概率中的组合数相乘技巧！