在数学分析中，不定积分是研究函数原函数的重要工具。今天我们来探讨一个有趣的积分问题——求解“\( \frac{1}{1 + \sin x} \)”的不定积分。
首先，我们注意到分母中的正弦函数具有周期性特征，因此这个积分可能会涉及一些三角恒等式的应用。为了简化计算过程，我们可以尝试使用万能代换法（也称为tangent半角代换）。具体而言，令 \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \)，则有：
\[
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} dt
\]
将这些替换代入原积分表达式后，得到：
\[
\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt
\]
进一步化简分母部分：
\[
1 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{(1+t^2) + 2t}{1+t^2} = \frac{1 + 2t + t^2}{1+t^2}
\]
因此，积分变为：
\[
\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \int \frac{2(1+t^2)}{1 + 2t + t^2} \cdot \frac{1}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{1 + 2t + t^2} dt
\]
接下来，观察分母 \( 1 + 2t + t^2 \)，它实际上是一个完全平方形式：
\[
1 + 2t + t^2 = (t+1)^2
\]
于是积分再次简化为：
\[
\int \frac{2}{(t+1)^2} dt
\]
这是一个标准的幂函数积分，结果为：
\[
\int \frac{2}{(t+1)^2} dt = -\frac{2}{t+1} + C
\]
最后，将 \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \) 替换回去，得到最终答案：
\[
\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = -\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right) + 1} + C
\]
通过上述推导，我们成功解决了这个看似复杂的不定积分问题。这种方法不仅展示了三角函数与代数技巧相结合的魅力，也为解决其他类似问题提供了参考思路。
希望这篇文章能够满足您的需求！如果还有其他问题或需要进一步帮助，请随时告诉我。
