【求导x乘以e的2x次方】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于函数 $ f(x) = x \cdot e^{2x} $，其导数可以通过乘积法则来计算。本文将对这一过程进行详细总结，并通过表格形式展示关键步骤和结果。
一、求导过程总结
函数 $ f(x) = x \cdot e^{2x} $ 是一个乘积形式的函数，由两个部分组成：
- 第一部分是 $ x $，其导数为 1；
- 第二部分是 $ e^{2x} $，其导数为 $ 2e^{2x} $（利用链式法则）。
根据乘积法则：
$$
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
$$
代入 $ f(x) = x $ 和 $ g(x) = e^{2x} $，可得：
$$
f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} + 2x e^{2x}
$$
进一步提取公因式 $ e^{2x} $，得到最终结果：
$$
f'(x) = e^{2x}(1 + 2x)
$$
二、关键步骤表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 函数形式 | $ f(x) = x \cdot e^{2x} $ |
| 2 | 分解函数 | $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，其中 $ u(x) = x $，$ v(x) = e^{2x} $ |
| 3 | 求导法则 | 使用乘积法则：$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $ |
| 4 | 求导结果 | $ u'(x) = 1 $，$ v'(x) = 2e^{2x} $ |
| 5 | 代入公式 | $ f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} $ |
| 6 | 合并项 | $ f'(x) = e^{2x} + 2x e^{2x} $ |
| 7 | 提取公因式 | $ f'(x) = e^{2x}(1 + 2x) $ |
三、结论
通过对函数 $ f(x) = x \cdot e^{2x} $ 进行求导，我们得出其导数为：
$$
f'(x) = e^{2x}(1 + 2x)
$$
该结果不仅展示了函数的变化趋势，也为后续的极值分析、曲线绘制等应用提供了基础支持。在实际问题中，类似的形式常见于指数增长或衰减模型中，因此掌握此类求导技巧具有重要意义。
