【普通年终值推导公式】在财务管理和投资分析中，年终值（Future Value, FV）是一个重要的概念。它表示在一定利率和时间条件下，一笔资金在未来某一时点的价值。普通年终值的计算通常基于复利原理，适用于定期等额支付的情况。
一、基本概念
- 现值（Present Value, PV）：当前的资金价值。
- 终值（Future Value, FV）：未来某一时间点的资金价值。
- 利率（r）：每期的利息率。
- 期数（n）：资金的时间跨度，通常以年为单位。
- 年金（Annuity）：在一定时期内，每期固定金额的支付或收入。
二、普通年终值公式推导
普通年终值是指在每期期末进行等额支付的情况下，这些支付在最后一期结束时的总价值。其计算公式如下：
$$
FV = PMT \times \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right)
$$
其中：
- $ PMT $：每期支付的金额；
- $ r $：每期的利率；
- $ n $：支付的期数。
三、推导过程
假设每期支付金额为 $ PMT $，利率为 $ r $，共支付 $ n $ 期，那么每一笔支付的终值分别为：
| 期数 | 支付金额 | 终值计算 | 终值 |
| 1 | PMT | $ PMT \times (1 + r)^{n-1} $ | $ PMT(1 + r)^{n-1} $ |
| 2 | PMT | $ PMT \times (1 + r)^{n-2} $ | $ PMT(1 + r)^{n-2} $ |
| ... | ... | ... | ... |
| n-1 | PMT | $ PMT \times (1 + r)^1 $ | $ PMT(1 + r) $ |
| n | PMT | $ PMT \times (1 + r)^0 $ | $ PMT $ |
将所有终值相加：
$$
FV = PMT \times \left[ (1 + r)^{n-1} + (1 + r)^{n-2} + \cdots + (1 + r)^1 + 1 \right
$$
这是一个等比数列求和问题，首项为 1，公比为 $ (1 + r) $，项数为 $ n $，因此：
$$
FV = PMT \times \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right)
$$
四、示例说明
| 参数 | 数值 |
| PMT | 1000 元 |
| r | 5% |
| n | 3 年 |
代入公式：
$$
FV = 1000 \times \left( \frac{(1 + 0.05)^3 - 1}{0.05} \right) = 1000 \times \left( \frac{1.157625 - 1}{0.05} \right) = 1000 \times 3.1525 = 3152.50 \text{元}
$$
五、总结与表格对比
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 普通年终值公式 |
| 公式表达式 | $ FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} $ |
| 推导方法 | 等比数列求和 |
| 适用场景 | 定期等额支付的终值计算 |
| 示例结果 | 当 $ PMT=1000 $, $ r=5\% $, $ n=3 $ 时，$ FV=3152.50 $ 元 |
通过以上推导与实例分析可以看出，普通年终值的计算不仅具有理论基础，也具备实际应用价值，是财务管理中不可或缺的工具之一。
