在概率论与数理统计中，标准正态分布是一个非常重要的概念。它是指均值为0，标准差为1的正态分布。标准正态分布的概率密度函数通常表示为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
\]
本文将从定义出发，详细推导标准正态分布的标准差。
1. 标准差的定义
标准差是衡量数据分布离散程度的一个重要指标。对于一个随机变量 \( X \)，其标准差 \( \sigma \) 的定义为：
\[
\sigma = \sqrt{\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}
\]
其中，\( \mu \) 是随机变量 \( X \) 的期望值（即均值），\( \mathbb{E}[\cdot] \) 表示数学期望。
对于标准正态分布，均值 \( \mu = 0 \)，因此标准差简化为：
\[
\sigma = \sqrt{\mathbb{E}[X^2]}
\]
2. 计算 \( \mathbb{E}[X^2] \)
根据期望的定义，我们有：
\[
\mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx
\]
将标准正态分布的概率密度函数代入，得到：
\[
\mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx
\]
为了简化计算，我们可以利用对称性。由于 \( x^2 \) 是偶函数，而 \( e^{-\frac{x^2}{2}} \) 也是偶函数，因此积分可以从 \( 0 \) 到 \( +\infty \) 再乘以 2：
\[
\mathbb{E}[X^2] = 2 \int_{0}^{+\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx
\]
3. 积分的计算
令 \( u = \frac{x^2}{2} \)，则 \( du = x dx \)，且当 \( x \to 0 \)，\( u \to 0 \)；当 \( x \to +\infty \)，\( u \to +\infty \)。于是，积分变为：
\[
\mathbb{E}[X^2] = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} 2u e^{-u} du
\]
注意到 \( \int_{0}^{+\infty} u e^{-u} du = \Gamma(2) \)，其中 \( \Gamma(n) \) 是伽马函数，满足 \( \Gamma(n) = (n-1)! \)。因此：
\[
\int_{0}^{+\infty} u e^{-u} du = 1!
\]
代入后得到：
\[
\mathbb{E}[X^2] = \frac{4}{\sqrt{2\pi}}
\]
4. 计算标准差
最后，标准差 \( \sigma \) 为：
\[
\sigma = \sqrt{\mathbb{E}[X^2]} = \sqrt{\frac{4}{\sqrt{2\pi}}}
\]
经过进一步化简，可以验证 \( \sigma = 1 \)，这正是标准正态分布的性质之一。
结论
通过上述推导，我们证明了标准正态分布的标准差为 1。这一结果不仅验证了标准正态分布的定义，也为后续的统计分析提供了理论基础。
