【垂径定理及公式】垂径定理是几何中关于圆的重要定理之一，广泛应用于圆的性质分析与计算中。它揭示了圆的直径与弦之间的关系，并为解决相关问题提供了有力的工具。以下是对垂径定理及其相关公式的总结。
一、垂径定理的基本内容
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
说明：
- 若一条直径垂直于某条弦，则该直径会将这条弦分成两条相等的部分；
- 同时，这条直径也会将弦所对的两条弧也平分。
推论：
- 平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦；
- 如果一条直线既平分弦又平分弦所对的弧，则这条直线一定是直径。
二、垂径定理的数学表达与公式
设圆心为 $ O $，弦为 $ AB $，直径为 $ CD $，且 $ CD \perp AB $，交点为 $ E $。根据垂径定理，有以下结论：
| 符号 | 含义 | 公式或结论 |
| $ AB $ | 弦 | - |
| $ CD $ | 直径 | $ CD \perp AB $ |
| $ E $ | 弦与直径的交点 | $ AE = EB $ |
| $ \overset{\frown}{AC} $, $ \overset{\frown}{BC} $ | 弦所对的弧 | $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $ |
| $ r $ | 圆的半径 | - |
| $ d $ | 弦心距（即圆心到弦的距离） | $ d = OE $ |
| $ l $ | 弦长 | $ l = AB = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ |
三、应用举例
例题1：已知一个圆的半径为5cm，一条弦到圆心的距离为3cm，求这条弦的长度。
解：
根据公式 $ l = 2\sqrt{r^2 - d^2} $，代入数据得：
$$
l = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}
$$
答：这条弦的长度为8厘米。
四、总结
垂径定理是研究圆的重要基础，其核心在于“垂直”与“平分”的关系。通过该定理，我们可以快速得出弦长、弦心距等关键参数，适用于多种几何问题的求解。掌握其公式和应用场景，有助于提升几何分析能力。
| 内容 | 说明 |
| 垂径定理 | 垂直于弦的直径平分弦及所对的弧 |
| 关键公式 | $ l = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ |
| 应用领域 | 几何计算、圆的性质分析 |
| 推论 | 平分弦的直径垂直于弦；平分弧的直线是直径 |
通过以上总结与表格展示，可以更清晰地理解垂径定理及其公式的实际意义和应用价值。
