在信号处理与系统分析中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域表示。而傅里叶反变换则相反，它能够从频域信息中还原出原始的时域信号。今天我们将探讨一个具体的例子：求 cos(2ω) 的傅里叶反变换。
首先，我们需要明确几个基本概念。傅里叶变换通常定义为：
$$
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt
$$
而其反变换公式为：
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
在这个问题中，我们已知的是频域函数 $ X(\omega) = \cos(2\omega) $，目标是找到对应的时域信号 $ x(t) $。
一、理解 cos(2ω) 的特性
首先，注意到这里的频率变量是 $ \omega $，而不是 $ t $，因此这是一个关于频率的函数。我们知道，余弦函数可以表示为两个复指数函数的和：
$$
\cos(2\omega) = \frac{1}{2} \left( e^{j2\omega} + e^{-j2\omega} \right)
$$
这表明，$ \cos(2\omega) $ 是一个对称的频域函数，在 $ \omega = 2 $ 和 $ \omega = -2 $ 处有能量分布。
二、使用傅里叶反变换公式计算
根据傅里叶反变换的定义：
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \cos(2\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
将 $ \cos(2\omega) $ 替换为指数形式：
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} \left( e^{j2\omega} + e^{-j2\omega} \right) e^{j\omega t} d\omega
$$
$$
= \frac{1}{4\pi} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(2 + t)\omega} d\omega + \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(-2 + t)\omega} d\omega \right]
$$
接下来，我们利用一个重要的傅里叶变换性质：单位冲激函数的傅里叶变换是 1，即：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{j a \omega} d\omega = 2\pi \delta(a)
$$
因此，上式中的两个积分可以分别表示为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{j(2 + t)\omega} d\omega = 2\pi \delta(2 + t)
$$
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{j(-2 + t)\omega} d\omega = 2\pi \delta(-2 + t)
$$
代入后得到：
$$
x(t) = \frac{1}{4\pi} \left[ 2\pi \delta(2 + t) + 2\pi \delta(-2 + t) \right] = \frac{1}{2} \left[ \delta(t + 2) + \delta(t - 2) \right]
$$
三、结论
通过上述推导，我们得出：
$$
x(t) = \frac{1}{2} \left[ \delta(t + 2) + \delta(t - 2) \right]
$$
也就是说，cos(2ω) 的傅里叶反变换是一个由两个单位冲激函数组成的信号，分别位于时间点 t = -2 和 t = 2 处，幅值为 1/2。
四、总结
傅里叶反变换的过程可以帮助我们从频域表达式中恢复出原始的时域信号。对于 $ \cos(2\omega) $ 这样的简单频域函数，我们可以利用傅里叶变换的基本性质和冲激函数的特性，快速求得其对应的时域表达式。这一过程不仅展示了傅里叶变换的对称性，也体现了频域与时域之间的深刻联系。
