绝对值不等式是数学分析中的一个重要基础工具，广泛应用于代数、几何以及优化问题中。以下是绝对值不等式的6个基本公式及其详细的证明过程。
公式1：三角不等式
公式：对于任意实数 \(a\) 和 \(b\)，有 \(\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)。
证明：
根据绝对值的定义，\(\lvert x \rvert \geq 0\) 对于所有实数 \(x\) 成立。因此，
\[
-a \leq \lvert a \rvert \quad \text{且} \quad -b \leq \lvert b \rvert.
\]
将上述两式相加得：
\[
-(\lvert a \rvert + \lvert b \rvert) \leq a + b \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert.
\]
这表明 \(a + b\) 的绝对值不大于 \(\lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)，即：
\[
\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert.
\]
公式2：反向三角不等式
公式：对于任意实数 \(a\) 和 \(b\)，有 \(\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert \leq \lvert a - b \rvert\)。
证明：
由三角不等式可得：
\[
\lvert a \rvert = \lvert (a - b) + b \rvert \leq \lvert a - b \rvert + \lvert b \rvert,
\]
从而：
\[
\lvert a \rvert - \lvert b \rvert \leq \lvert a - b \rvert.
\]
类似地，交换 \(a\) 和 \(b\) 的位置可以得到：
\[
\lvert b \rvert - \lvert a \rvert \leq \lvert a - b \rvert.
\]
结合以上两式，即可得到：
\[
\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert \leq \lvert a - b \rvert.
\]
公式3：绝对值与乘积的关系
公式：对于任意实数 \(a\) 和 \(b\)，有 \(\lvert a \cdot b \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert\)。
证明：
根据绝对值的定义，若 \(a \geq 0\) 且 \(b \geq 0\)，则显然成立。对于其他情况，利用绝对值的性质：
\[
\lvert a \cdot b \rvert = \sqrt{(a \cdot b)^2} = \sqrt{a^2 \cdot b^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert.
\]
公式4：绝对值与商的关系
公式：对于任意非零实数 \(a\) 和 \(b\)，有 \(\lvert \frac{a}{b} \rvert = \frac{\lvert a \rvert}{\lvert b \rvert}\)。
证明：
类似于公式3的证明方法，利用绝对值的定义和性质，可以推导出：
\[
\lvert \frac{a}{b} \rvert = \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}} = \frac{\lvert a \rvert}{\lvert b \rvert}.
\]
公式5：绝对值的幂次关系
公式：对于任意实数 \(a\) 和正整数 \(n\)，有 \(\lvert a^n \rvert = (\lvert a \rvert)^n\)。
证明：
当 \(n\) 为偶数时，显然成立；当 \(n\) 为奇数时，利用绝对值的定义和指数运算规则，同样可以验证该公式成立。
公式6：绝对值的嵌套性质
公式：对于任意实数 \(a\)，有 \(\lvert \lvert a \rvert \rvert = \lvert a \rvert\)。
证明：
根据绝对值的定义，\(\lvert a \rvert\) 是非负数，因此其自身的绝对值仍然是 \(\lvert a \rvert\)，即：
\[
\lvert \lvert a \rvert \rvert = \lvert a \rvert.
\]
以上便是绝对值不等式的6个基本公式的详细证明过程。这些公式在数学分析、线性代数等领域有着广泛的应用价值，掌握它们有助于深入理解数学的本质。
