【随机变量x服从参数为 1的指数分布,求变量y x and 2的概率密度函数】在概率论中，当我们已知一个随机变量的分布，并希望研究其变换后的变量的分布时，通常需要进行变量替换和概率密度函数的推导。本文将围绕以下问题展开：

> 随机变量X服从参数为1的指数分布，求变量Y = X ∧ 2（即X与2中的较小值）的概率密度函数。

一、基本概念回顾

- 指数分布：若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数（PDF）为：

$$

f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0

$$

当λ=1时，概率密度函数简化为：

$$

f_X(x) = e^{-x}, \quad x > 0

$$

- Y = X ∧ 2：表示Y是X和2之间的较小者，即：

$$

Y = \min(X, 2)

$$

二、Y的概率密度函数推导

为了求出Y的概率密度函数，我们先分析Y的累积分布函数（CDF），再通过对CDE求导得到PDF。

1. 求Y的CDF

定义：

$$

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\min(X, 2) \leq y)

$$

根据最小值的性质，有：

$$

P(\min(X, 2) \leq y) = 1 - P(\min(X, 2) > y) = 1 - P(X > y \text{ 且 } 2 > y)

$$

考虑两种情况：

- 当y < 2时：此时2 > y恒成立，因此：

$$

F_Y(y) = 1 - P(X > y) = 1 - e^{-y}

$$

- 当y ≥ 2时：此时X > y 的概率为0（因为X是正数），而2 > y不成立，所以：

$$

F_Y(y) = 1 - 0 = 1

$$

综上，Y的CDF为：

$$

F_Y(y) =

\begin{cases}

1 - e^{-y}, & y < 2 \\

1, & y \geq 2

\end{cases}

$$

2. 求Y的PDF

对CDF求导可得PDF：

- 当y < 2时：

$$

f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy}(1 - e^{-y}) = e^{-y}

$$

- 当y ≥ 2时：

$$

f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy}(1) = 0

$$

但需要注意的是，Y在y=2处存在一个跳跃点，即在y=2处有一个离散质量，因为当X ≤ 2时，Y = X；当X > 2时，Y = 2。因此，在y=2处，Y有一个概率质量：

$$

P(Y = 2) = P(X > 2) = e^{-2}

$$

因此，最终的PDF应包含这个离散部分，可以写成：

$$

f_Y(y) =

\begin{cases}

e^{-y}, & 0 < y < 2 \\

e^{-2}, & y = 2 \\

0, & y > 2

\end{cases}

$$

三、总结表格

四、结论

通过对原变量X的分布进行变换，我们得到了Y = min(X, 2)的分布形式。该变量在区间[0, 2)内具有连续的概率密度函数，而在y=2处存在一个离散的质量点，这是由于最小值操作导致的。这一结果在实际应用中常用于可靠性分析、生存分析等领域。