在大学阶段，数学作为一门基础学科，贯穿于各个专业领域。无论是理工科、经济管理还是社会科学，掌握一些关键的数学基础公式都是必不可少的。这些公式不仅是解题的工具，更是理解数学思想和逻辑推理的核心。下面将介绍一些大学数学中常见的基础公式，帮助读者更好地理解和应用。
一、代数基础公式
1. 平方差与立方差公式
- $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
- $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
2. 完全平方公式
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
3. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
二、三角函数基础公式
1. 基本恒等式
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $
- $ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $
2. 和角公式
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
3. 倍角公式
- $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
- $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x $
三、微积分基础公式
1. 导数的基本公式
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
2. 积分基本公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
3. 微分法则
- 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
四、概率与统计基础公式
1. 期望值
若随机变量 $ X $ 的取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应的概率为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i
$$
2. 方差公式
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
3. 正态分布概率密度函数
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
五、线性代数基础公式
1. 矩阵乘法
设 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times p $ 矩阵，则乘积 $ AB $ 是一个 $ m \times p $ 矩阵，其元素为：
$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}
$$
2. 行列式公式（2×2矩阵）
$$
\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc
$$
3. 特征值与特征向量
若 $ A $ 是一个方阵，且存在非零向量 $ v $ 和标量 $ \lambda $，使得 $ Av = \lambda v $，则 $ \lambda $ 称为特征值，$ v $ 为对应特征向量。
结语
大学数学虽然内容繁多，但掌握这些基础公式是学习更高级数学知识的前提。无论是在考试、科研还是实际应用中，这些公式都具有重要的指导意义。建议在学习过程中不断练习、归纳总结，逐步建立起自己的数学思维体系。
