假设我们有一个n×n的矩阵A，并且希望计算其行列式det(A)。拉普拉斯展开的基本思想是沿着某一行或某一列进行展开，利用余子式的概念逐步简化计算过程。

具体来说，如果选择第i行作为展开对象，则行列式的值可以表示为：

\[ \text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}, \]

其中\(a_{ij}\)是矩阵A中第i行第j列的元素，\(M_{ij}\)是去掉第i行和第j列后剩余子矩阵的行列式（即余子式），而\((-1)^{i+j}\)则是交错因子，用于处理符号变化。

为了更好地理解这一公式，我们可以从一个简单的例子出发。考虑一个3×3矩阵：

\[ A = \begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}. \]

如果我们选择第一行来展开行列式，则有：

\[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). \]

这里可以看到，每一项都对应于选定元素与其对应的余子式的乘积，并且符号由交错因子决定。

进一步地，当n > 3时，上述过程可以通过递归应用到更小规模的子矩阵上完成。这种方法不仅适用于任何大小的方阵，而且在理论上提供了统一且系统化的处理方式。

总之，拉普拉斯展开式的核心在于利用子结构信息逐步分解复杂问题，从而实现高效准确的求解。掌握这一技巧对于深入学习线性代数及其在工程科学中的广泛应用至关重要。